Индустриальный техникум 

федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего образования

 «Донбасский государственный технический университет»

 

КОМПЛЕКТ

КОНТРОЛЬНО-ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ

 

для проведения текущего контроля и промежуточной аттестации

в форме экзамена

по учебной дисциплине

ЕН.03 ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

 

по специальности

09.02.07 ИНФОРМАЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ И ПРОГРАММИРОВАНИЕ

 

РАССМОТРЕН И СОГЛАСОВАН

цикловой комиссией «Информатики и компьютерной техники»

Протокол от 15 мая 2023 года №5

Председатель методической комиссии ____________О.Ю. Ленкова

Разработан на основе государственного образовательного стандарта по специальности 09.02.07 Информационные системы и программирование.

СОГЛАСОВАНО:

Заместитель директора по УМР

 

____________Л.Л. Кузьмина

 

Составители: Кузьмина Л.Л., преподаватель высшей категории, преподаватель-методист

1. Паспорт комплекта контрольно-оценочных средств

 

В результате освоения учебной дисциплины ЕН.03 Теория вероятностей и математическая статистика обучающийся должен обладать предусмотренными ГОС СПО по специальности 09.02.07 Информационные системы и программирование следующими умениями:

У1 применять стандартные методы и модели к решению вероятностных и статистических задач;

У2 пользоваться расчетными формулами, таблицами, графиками при решении статистических задач;

У3 применять современные пакеты прикладных программ многомерного статистического анализа;

знаниями:

З1основные понятия комбинаторики;

З2 основы теории вероятностей и математической статистики;

З3 основные понятия теории графов,

которые формируют профессиональную компетенцию, и общими компетенциями:

ОК 1.  Понимать сущность и социальную значимость своей будущей профессии, проявлять к ней устойчивый интерес.

ОК 2.  Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.

ОК 3.  Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них ответственность.

ОК 4.  Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и личностного развития.

ОК 5.  Использовать информационно-коммуникационные технологии в профессиональной деятельности.

ОК 6.  Работать в коллективе и в команде, эффективно общаться с коллегами, руководством, потребителями.

ОК 7.  Брать на себя ответственность за работу членов команды (подчиненных), за результат выполнения заданий.

ОК 8.  Самостоятельно определять задачи профессионального и личностного развития, заниматься самообразованием, осознанно планировать повышение квалификации.

ОК 9.  Ориентироваться в условиях частой смены технологий в профессиональной деятельности.

ОК 10. Исполнять воинскую обязанность, в том числе с применением полученных профессиональных знаний (для юношей).

 

2. Оценивание уровня освоения учебной дисциплины

 

Предметом оценивания служат умения и знания, предусмотренные ГОС СПО по дисциплине ЕН.03 Теория вероятностей и математическая статистика, направленные на формирование общих и профессиональных компетенций. Промежуточная аттестация по учебной дисциплине проводится в форме экзамена.

 

 

Контроль и оценивание уровня освоения учебной дисциплины по темам (разделам)

Таблица 1

 

Элемент учебной дисциплины	Формы и методы контроля
	Текущий контроль		Промежуточная аттестация
	Форма контроля	Проверяемые ОК, У, З	Форма контроля	Проверяемые ОК, У, З
Тема 1. Случайные события	Практическая работа № 1 Практическая работа № 2 Практическая работа № 3 Практическая работа № 4 Практическая работа № 5 Письменный опрос	У1; З1, З2; ОК1, ОК2, ОК3, ОК4, ОК5
Тема 2. Случайные величины	Практическая работа № 6 Практическая работа № 7 Практическая работа № 8 Контрольная работа Письменный опрос	У1,У2,УЗ; 31,32,33; ОК1, ОК2, ОК3, ОК4, ОК5
Тема 3. Элементы математической статистики	Практическая работа № 9 Практическая работа № 10 Письменный опрос Семестровое задание	У1,У2,УЗ; 31,32,33; ОК1, ОК2, ОК3, ОК4, ОК5, ОК6, ОК7, ОК8, ОК9
Промежуточная аттестация			Дифференцированный зачет	У1,У2,УЗ; 31,32,33; ОК1, ОК2, ОК3, ОК4, ОК5, ОК6, ОК7, ОК8, ОК9

 

 

 

3. Задания для оценки освоения учебной дисциплины

3.1 Задания для текущего контроля

 

Практическая работа № 1

Тема: «Решение задач по комбинаторике»

Решить задачи согласно своего варианта:

Вариант № 1

1. В урне 10 белых и 15 черных шаров. Из урны вынимаются 3 шара. Найти вероятность того, что два шара будут белыми и 1 черный.
2. В ящике имеется 50 одинаковых деталей, из них 5 окра­шенных. Наудачу вынимают  одну  деталь. Найти вероятность  того, что извлеченная деталь окажется окрашенной.
3. Имеется 5 видов конвертов без марок и 4 вида марок. Сколькими способами можно выбрать конверт и марку для посылки письма?

Вариант № 2

1. В урне 8 белых и 19 черных шаров. Из урны вынимаются 4 шара. Найти вероятность того, что два шара будут белыми и два черными.
2. Брошена игральная кость. Найти вероятность того, что выпадет четное число очков.
3. Сколькими способами можно выбрать согласную и гласную из слова «здание»? из слова «паркет»?

Вариант № 3

1. В урне 8 белых и 19 черных шаров. Из урны вынимаются 4 шара. Найти вероятность того, что два шара будут черными?
2. Участники жеребьевки  тянут из ящика жетоны с  номерами от 1 до 100. Найти  вероятность  того, что  номер первого  наудачу извлеченного жетона не содержит цифры 5
3. Сколькими способами можно указать на шахматной доске два квадрата – белый и черный? Два белых квадрата?

Вариант № 4

1. Есть 10 тюльпанов и 25 нарциссов. Сколькими способами можно составить букет из 5 тюльпанов и 4 нарциссов?
2. В партии из 18 деталей находятся 4 бракованных. Наугад выбирают 5 деталей. Найти вероятность того, что из этих 5 деталей две окажутся бракованными?
3. Сколькими способами можно выбрать на шахматной доске белый и черный квадраты, не лежащие на одной горизонтали?

Вариант № 5

1. Есть 19 тюльпанов и 40 нарциссов. Сколькими способами можно составить букет из 9 тюльпанов и 10 нарциссов?
2. Сколькими способами можно выбрать на шахматной доске белый и черный квадраты, не лежащие на одной вертикали?
3. Из тщательно перемешанного полного набора 28 костей домино наудачу извлечена кость. Найти вероятность того, что вторую наудачу извлеченную кость можно приставить к первой, если первая кость оказалась дублем.

Вариант № 6

1. В урне 15 красных, 18 синих и 10 зеленых шаров. Из урны вынимаются 4 шара. Найти вероятность того, что два шара будут красными и два синими?
2. Номера трамвайных маршрутов иногда обозначают двумя цветными фонарями. Какое количество разных маршрутов можно обозначить, ели использовать фонари восьми цветов?
3. Из 3 экземпляров учебника алгебры, 7 экземпляров учебника геометрии и 6 экземпляров учебника физики надо выбрать комплект, содержащий все три учебника по одному разу. Сколькими способами это можно сделать?

Вариант № 7

1. В урне 15 красных, 18 синих и 10 зеленых шаров. Из урны вынимаются 4 шара. Найти вероятность того, что два шара будут зелеными,  красный и синий?
2. Семь спортсменов разыгрывают 1 золотую, 1 серебряную и 1 бронзовую медали. Сколькими способами можно разыграть награды?
3. В корзине лежат 12 яблок и 10 апельсинов. Ваня выбирает либо яблоко, либо апельсин, после чего Надя выбирает из оставшихся фруктов яблоко, и апельсин. Сколько возможно таких выборов?

Вариант № 8

1. В урне 15 красных, 18 синих и 10 зеленых шаров. Из урны вынимаются 5 шаров. Найти вероятность того, что два шара будут красными,  два синими и один зеленый?
2. В отделе работают 5 экономистов и 9 инженеров. Сколькими способами можно выбрать 2 экономиста и 3 инженера, если специалисты считаются равноценными?
3. Имеется набор из 16 карточек. На четырех из написана буква «А», на 4 – буква «Б», на 4 – буква «В». И на 4 – буква «Г». Сколько различных комбинаций букв можно получить, выбирая из набора 4 карточки и располагая их в некотором порядке?

Вариант № 9

1. В столовой есть 4 первых блюда, 5 вторых и 3 третьих. Сколькими способами можно выбрать обед из трех блюд так, чтобы было первое, второе и третье?
2. Чемпионат, в котором принимают участие 16 команд, проводится в два тура. Определить, какое количество встреч нужно провести?
3. Сколькими способами можно составить трехцветный полосатый флаг, если имеются ткани 5 различных цветов?

Вариант № 10

1. В компании есть вакансия экономиста, менеджера и дизайнера. Сколькими способами 6 стажеров могут быть распределены по этим вакансиям?
2. Расписание занятий одного дня состоит из 3 разных лекций. Сколькими способами можно составить расписание из 11 предметов?
3. В цехе работают 8 токарей. Сколькими способами можно поручить трем из них изготовление трех различных видов деталей (по одному на каждого)?

 

Вариант № 11

1. Студенту необходимо сдать 4 разных экзамена на протяжении 6 дней. Сколькими способами это можно сделать, если каждый день можно сдавать только один экзамен?
2. Сколькими способами четырех гостей можно рассадить в четырех креслах?
3. Сколько слов можно получить, переставляя буквы в слове «математика»?

Вариант № 12

1. Для стажировки 25 студентам выделено 10 мест на 1-й фирме, 8 мест на 2-й фирме и 7 мест на 3-й фирме. Считая распределение равновозможными, определить, сколькими способами можно распределить студентов по фирмах так, чтобы 3 определенных студента попали на одну фирму?
2. Сколько нужно взять элементов, чтобы число всех перестановок из этих элементов не превышало 100?
3. На стеллаже в библиотеке в случайном порядке расставлены 20 учебников, причем 7 из них в переплете. Найти вероятность того, что два взятых учебника окажутся в переплете?

Вариант № 13

1. Библиотека состоит из десяти различных книг, причем пять книг стоят по  4 рубля каждая, три книги — по одному рублю и  две  книги — по  3 рубля. Найти вероятность  того, что взятые наудачу две книги стоят 5 рублей.
2. Сколькими способами можно распределить 12 классных комнат под 12 учебных кабинетов?
3. В урне 10 красных, 18 синих и 5 зеленых шаров. Из урны вынимаются 4 шара. Найти вероятность того, что один шар будет красным и три синими?

Вариант № 14

1. В замке  на  общей оси  пять дисков. Каждый диск разделен на шесть секторов, на которых написаны различные буквы. Замок открывается только в том случае, если каждый диск занимает одно определенное положение относительно корпуса замка. Найти вероят­ность  того, что  при произвольной  установке  дисков  замок  можно будет открыть.
2. Сколько пятизначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5 без повторений?
3. У филателиста есть 8 разных марок на космическую тему и 10 марок на спортивную тему. Сколькими способами он может наклеить 3 марки первого вида  и 3 марки второго вида в альбом на 6 пронумерованных мест?

Вариант № 15

1. Из тщательно перемешанного полного набора 28 костей домино наудачу извлечена кость. Найти вероятность того, что вторую наудачу извлеченную кость можно приставить к первой, если первая кость не есть дубль.
2. Число сочетаний из п элементов по 3 в пять раз меньше числа сочетаний из п+ 2 элементов по 4. Найдите п.
3. Что вероятнее угадать 6 номеров из 49 или 5 номеров из 36?

Вариант № 16

1. Куб, все грани которого окрашены, распилен на тысячу куби­ков одинакового размера, которые  затем тщательно перемешаны. Найти вероятность того, что наудачу извлеченный кубик будет иметь одну окрашенную грань.
2. Сколькими способами можно из 15 рабочих создать бригады по 5 человек в каждой?
3. Что вероятнее получить при делении домино между 4 игроками – все «дубли» или же все кости с «шестерками»?

Вариант № 17

1. Куб, все грани которого окрашены, распилен на тысячу куби­ков одинакового размера, которые  затем тщательно перемешаны. Найти вероятность того, что наудачу извлеченный кубик будет иметь две окрашенные грани.
2. Сколько нужно взять элементов, чтобы число всех перестановок из этих элементов было меньше 200?
3. Что вероятнее при бросании двух монет – выпадение двух «решек» или «решки» и «герба»?

Вариант № 18

1. Куб, все грани которого окрашены, распилен на тысячу куби­ков одинакового размера, которые  затем тщательно перемешаны. Найти вероятность того, что наудачу извлеченный кубик будет иметь три окрашенные грани.
2. При 10 бросаниях монет выпал герб. Что вероятнее при следующем броске – выпадение решки или герба?
3. Парламентская комиссия состоит из председателя, его заместителя и еще пяти членов. Сколькими способами могут распределить между собой обязанности?

Вариант № 19

1. В лотерее из 1000 билетов имеются 200 выигрышных. Вынимают наугад один билет. Чему равна вероятность того, что этот билет выигрышный?
2. Из мешка с 33 жетонами, на которых написаны буквы русского алфавита, извлекают 4 жетона, которые располагают в алфавитном порядке. Какова вероятность того, что при этом получится слово «винт»?
3. Сколькими способами можно выбрать трех дежурных с группы в 20 студентов?

Вариант № 20

1. В мешочке имеется 5 одинаковых  кубиков. На всех гранях каждого  кубика  написана  одна из следующих букв: о, п, р, с, т. Найти вероятность того, что на  вынутых по  одному и расположенных «в одну  линию» кубиков можно будет прочесть слово «спорт».
2. В ящике с деталями оказалось 300 деталей 1 сорта, 200 деталей 2 сорта и 50 деталей 3 сорта. Наудачу вынимают одну из деталей. Чему равна вероятность вынуть деталь1, 2 или 3 сорта?
3. Из мешка с 33 жетонами, на которых написаны буквы русского алфавита, извлекают 6 жетонов, которые располагают в алфавитном порядке. Какова вероятность того, что при этом получится слово «Москва»?

Вариант № 21

1. На каждой из шести одинаковых карточек напечатана одна из следующих букв: а, т, м, р, с, о. Карточки тщательно переме­шаны. Найти вероятность того, что на четырех, вынутых по одной и расположенных «в одну линию» карточках можно будет прочесть слово «трос».
2. В урне 20 белых и 15 черных шаров. Наудачу вынимают один шар. Который оказался белым, и откладывают его в сторону. После этого берут еще один шар. Найдите вероятность того, что этот шар также окажется белым.
3. Что вероятнее выбросить при метании двух костей – 7 очков или 8 очков?

Вариант № 22

1. В урне 12 красных, 15 синих и 7 зеленых шаров. Из урны вынимаются 7 шаров. Найти вероятность того, что три шара будут красными и четыре синими?
2. В коробке имеются 30 лотерейных билетов, из которых 26 без выигрышей. Наугад вынимают одновременно 4 билета. Найдите вероятность, что из 4 билетов два окажутся выигрышными.
3. При броске игральной кости вычислите вероятности событий: «выпало четное число очков» и «выпало 5 очков»

Вариант № 23

1. В урне 12 красных, 18 синих и 7 зеленых шаров. Из урны вынимаются 7 шаров. Найти вероятность того, что два шара будут красными и четыре синими и один зеленый?
2. Сколько упорядоченных пар можно составить из 32 букв, если в каждой паре обе буквы различны?
3. При броске игральной кости вычислите вероятности событий: «число выпавших очков кратно трем» и «выпало 2 очка»

Вариант № 24

1. Из 25 экзаменационных билетов наудачу выбирается 4 (от 1 до 25). Какова вероятность того, что номер вытянутого билета есть число, кратное 3?
2. Энциклопедия состоит из 8 томов. Сколькими способами ее можно поставить на полке в беспорядке, т.е. так, чтобы тома не следовали один за другим в порядке их номеров?
3. На выпускном вечере 20 выпускников техникума обменялись фотокарточками. Сколько при этом было роздано фотокарточек?

Вариант № 25

1. Из 20 рабочих нужно выделить шестерых для работы на сторойучастке. Сколькими способами можно это сделать?
2. Из цифр 1, 2, 3, 4, 5 составлены всевозможные пятизначные числа без повторений цифр. Выяснить, сколько среди этих пятизначных чисел таких, которые не начинаются с 543.
3. В урне 10 шаров, из них 3 белых. Какова вероятность того, что из четырех наугад выбранных шаров ровно один будет белый? Какова вероятность, что белых шаров будет ровно два?

Практическая работа № 2

Тема: «Использование теорем сложения и умножения вероятностей при решении задач»

Решить задачи согласно своего варианта:

Вариант № 1

1. В денежно-вещевой лотерее на каждые 10 000 билетов разыгрывается 150 вещевых и 50 денежных выигрышей. Чему равна вероятность выигрыша, безразлично денежного или  вещевого, для владельца одного лотерейного билета?
2. Какова вероятность, что задуманное в пределах 100 целое число делится на 10 или на 11?
3. Из полной колоды игральных карт (52) извлекается наудачу одна карта. Найти вероятность того, что эта карта окажется: 1) тузом, 2) пиковой масти, 3) пиковым тузом.

Вариант № 2

1. Вероятность того, что стрелок при  одном  выстреле выбьет 10 очков, равна 0,1; вероятность выбить 9 очков равна 0,3;  вероятность  выбить 8 или меньше очков равна 0,6. Найти вероятность того, что при одном выстреле стрелок выбьет не менее 9 очков.
2. Из полного комплекта домино (28 костей) извлекается наудачу одна кость. Чему равна вероятность того, что сумма очков на обеих половинах не более 5?
3. Из 60 вопросов, входящих в экзаменационные билеты, студент подготовил 50. Какова вероятность того, что взятый наудачу студентом билет, содержащий два вопроса, будет состоять из подготовленных им вопросов?

Вариант № 3

1. В партии из 10 деталей 8 стандартных. Найти вероятность того, что среди наудачу извлеченных  2 деталей есть хотя бы одна стандартная.
2. Подбрасывают две игральные кости. Найти вероятность того, что сумма выпавших очков не менее 10 очков?
3. Какова вероятность того, что среди вынутых наудачу 4 карт из полной колоды карт ровно две окажутся принадлежащими пиковой масти?

Вариант № 4

1. В ящике 10 деталей, среди которых 2 нестандартных. Найти вероятность того, что в наудачу отобранных 6 деталях окажется не более одной нестандартной детали.
2. Телефонная линия, соединяющая районный центр с колхозом, имеет длину 12км. Во время грозы произошло повреждение на этой линии. Найти вероятность того, что повреждение произошло на первых трех километрах от районного центра.
3. Среди 17 студентов группы, из которых 8 девушек, разыгрывается 7 билетов, причем каждый может выиграть только один билет. Какова вероятность того, что среди обладателей билетов окажутся 4 девушки?

Вариант № 5

1. События А, В, С и D образуют полную группу. Вероятности событий таковы: Р(А)=0,1;  Р(В)=0,4;  P(C) = 0,3.  Чему  равна вероятность события D?
2. Известно, что из 100000 атомов полония самопроизвольно распадается в течение суток 495. Найти вероятность того, что за сутки атом полония не распадется.
3. У сборщика имеется 10 деталей, мало отличающихся друг от друга. Из них 4 первого, по 2 второго, третьего и четвертого видов. Какова вероятность того, что из шести взятых одновременно деталей три окажутся первого вида, две второго и одна третьего?

Вариант № 6

1. По статистическим данным ремонтной мастерской, в среднем на 20 остановок токарного станка приходится: 10—для смены резца; 3—из-за неисправности привода; 2 — из-за несвоевременной подачи заготовок. Остальные остановки происходят по другим причинам. Найти вероятность остановки станка по другим причинам.
2. Игральная кость бросается два раза. Найти вероятность того, что оба раза появится одинаковое число очков.
3. В урне 5 белых и 7 черных шаров. Из урны вынимают одновременно два шара. Найти вероятность того, что шары одного цвета.

Вариант № 7

1. В лотерее 1000 билетов; из них на один билет падает выигрыш 500 руб., на 10 билетов – выигрыш по 100 руб., на 50 билетов – выигрыш по 20 руб., на 100 билетов – выигрыши по 5 руб., остальные билеты не выигрышные. Некто покупает один билет. Найти вероятность выиграть не менее 20 руб.
2. Бросаются две игральные кости. Определить вероятность того, что сумма выпавших очков будет не менее 9.
3. Студент знает 45 из 60 вопросов. Каждый экзаменационный билет содержит 3 вопроса. Найти вероятность того, что студент знает хотя бы два вопроса.

Вариант № 8

1. Производится бомбометание по трем складам боеприпасов, причем сбрасывается одна бомба. Вероятность попадания в первый склад 0,01; во второй – 0,008; в третий – 0,025. При попадании в один из складов взрываются все три. Найти вероятность того, что склады будут взорваны.
2. Из урны, содержащей 10 занумерованных шаров, наугад вынуты один за другим все находящиеся в ней шары. Найти вероятность того, что номера вынутых шаров будут идти по порядку.
3. Определить вероятность того, что при одновременном бросании двух игральных костей сумма выпавших очков будет более 6.

Вариант № 9

1. Круговая мишень состоит из трех зон: I, II, III. Вероятность попадания в первую зону при одном выстреле 0,15, во вторую – 0,23, в третью – 0,17. Найти вероятность промаха.
2. В урне 5 белых и 4 черных шаров. Из урны вынимают сразу 5 шаров. Определить вероятность того, что хотя бы один из них будет белым.
3. Из полной колоды игральных карт (52) извлекается наудачу две карты. Найти вероятность того, что эти карты окажутся: 1) тузами, 2) пиковой и червовой масти, 3) пиковым и червовым тузами.

 

Вариант № 10

1. Парламентская комиссия состоит из 30 депутатов: 10 представителей коммунистической партии, 5 социалистов и 15 зеленых. Председатель комиссии обирается жеребьевкой. Найти вероятность того. Что это не будет представитель левой партии.
2. Бросаются три одинаковые монеты. Определить вероятность выпадения только одного герба.
3. В урне 8 белых и 6 черных шаров. Из урны вынимают сразу 3 шара. Найти вероятность того, что будет хотя бы один белый шар.

Вариант № 11

1. В ящике в случайном порядке разложены 20 деталей, причем пять из них стандартные. Рабочий берет наудачу три детали. Найти вероятность того, что по крайней мере одна из взятых деталей окажется стандартной.
2. Стрелок стреляет в мишень. Вероятность выбить 10 очков равна 0,4, а вероятность выбить 9 очков равна 0,7. Чему равна вероятность выбить меньше 9 очков?
3. Бросаются три одинаковые монеты. Определить вероятность выпадения только двух гербов.

Вариант № 12

1. Найти вероятность того, что наудачу взятое число кратно 3, либо 5, либо тому и другому одновременно.
2. В урне 8 белых и 10 черных шаров. Из урны вынимают сразу 3 шара. Найти вероятность того, что будет хотя бы один черный шар.
3. Куб, все грани которого окрашены, распилен на 125 кубиков одинакового размера, которые затем тщательно перемешали. Найти вероятность того, что наугад извлеченный кубик будет иметь три окрашенных грани.

Вариант № 13

1. В ящике в случайном порядке положены 10 деталей, из которых 4 стандартных. Контролер взял наудачу 3 детали. Найдите вероятность того, что хотя бы одна из взятых деталей оказалась стандартной.
2. Из 10 мальчиков и 8 девочек должно быть выделено для участия в туристском походе 5 человек. Определить вероятность того, что будут выделены 2 мальчика и 3 девочки.
3. Задумано некоторое двузначное число. Какова вероятность того, что сумма цифр этого числа будет равна 6?

Вариант № 14

1. В урне находятся 10 белых, 15 черных, 20 синих и 25 красных шаров. Найдите вероятность того, что вынутый шар окажется: 1) белым; 2) черным или красным.
2. Куб, все грани которого окрашены, распилен на 125 кубиков одинакового размера, которые затем тщательно перемешали. Найти вероятность того, что наугад извлеченный кубик будет иметь хотя бы одну окрашенную грань.
3. Задумано некоторое трехзначное число. Какова вероятность того, что сумма цифр этого числа будет равна 8?

 

Вариант № 15

1. Найдите вероятность того, что наудачу взятое двузначное число окажется кратным либо 5, либо 4, либо тому и другому одновременно.
2. В лотерее разыгрывается 1000 билетов. Среди них один выигрыш в 50 грн., 5 по 20 грн., 20 выигрышей по 10 грн. И 50 выигрышей по 5 грн. Некто покупает один билет. Найти вероятность выиграть не менее 10 грн.
3. Определить вероятность того, что при одновременном бросании двух игральных костей произведение выпавших очков будет более 10.

Вариант № 16

1. Стрелок попадает в десятку с вероятностью 0,05, в девятку с вероятностью 0,2, в восьмерку с вероятностью 0,6. Сделан один выстрел. Какова вероятность того, что выбито не менее восьми очков?
2. В лотерее разыгрывается 1000 билетов. Среди них один выигрыш в 50 грн., 5 по 20 грн., 20 выигрышей по 10 грн. И 50 выигрышей по 5 грн. Некто покупает один билет. Найти вероятность какого-либо выигрыша.
3. Задумано некоторое трехзначное число. Какова вероятность того, что все цифры этого числа будут одинаковыми?

Вариант № 17

1. Стрелок попадает в десятку с вероятностью 0,05, в девятку с вероятностью 0,2, в восьмерку с вероятностью 0,6. Сделан один выстрел. Какова вероятность того, что выбито более восьми очков?
2. Из тщательно перемешанных косточек домино (28) наудачу берется одна. Найти вероятность того, что сумма выпавших очков на ней будет: 1) равна 6; 2) более 10 очков?
3. Из полной колоды карт (52), тщательно перемешанных, извлекают 6 карт. Найти вероятность того, что среди них будет король пик.

Вариант № 18

1. В день физкультурника Сизов пошел на стадион. Можно было купить билет на футбол с вероятностью 0,3, билет на волейбол с вероятностью 0,4, или купить билет на волейбол с вероятностью 0,2. Какова вероятность того, что Сизов попал на соревнование?
2. В группе 10 дружинников. Среди них 7 юношей и 3 девушки. Путем жеребьевки должны быть избраны 4 дружинника. Чему равна вероятность того, что среди них не окажется девушек?
3. Задумано некоторое двузначное число. Какова вероятность того, что произведение цифр этого числа будет равна 6?

Вариант № 19

1. В день физкультурника Сизов пошел на стадион. Можно было купить билет на футбол с вероятностью 0,3, билет на волейбол с вероятностью 0,4, или купить билет на волейбол с вероятностью 0,2. Какова вероятность того, что Сизов попал на соревнование, в котором запрещена игра ногой?
2. На девяти карточках написаны цифры от 0 до 8. Две из них вынимаются и укладываются на стол в порядке появления слева направо. Найти вероятность того, что полученное число будет четным
3. Из полной колоды карт (52), тщательно перемешанных, извлекают 6 карт. Найти вероятность того, что среди них будет туз пик.

Вариант № 20

1. В мастерской работают три станка. За смену первый станок может потребовать накладки с вероятностью 0,15. Для второго станка эта вероятность равна 0,1, а для третьего станка – 0,12. Найдите вероятность того, что за смену хоть один станок потребует наладки, считая, что одновременно станки наладки потребовать не могут.
2. На девяти карточках написаны цифры от 0 до 8. Две из них вынимаются и укладываются на стол в порядке появления слева направо. Найти вероятность того, что полученное число будет нечетным.
3. Из полной колоды карт (52), тщательно перемешанных, извлекают 6 карт. Найти вероятность того, что среди них будет туз и король пик.

Вариант № 21

1. Берется наудачу трехзначное натуральное число от 100 до 999. Какова вероятность того, что хотя бы две его цифры совпадают?
2. Из урны, содержащей 5 шаров, занумерованных числами 1, 2, 3, 4, 5, извлекают наудачу все 5 шаров один за другим. Какова вероятность того, что номера извлеченных шаров идут в возрастающем порядке?
3. Из 10 билетов выигрышными являются 2. Определить вероятность того, что среди взятых наудачу 5 билетов: 1) один выигрышный; 2) хотя бы один выигрышный.

Вариант № 22

1. В цехе работает несколько станков. Вероятность того, что за смену потребует наладки ровно один станок, равна 0,2. Вероятность того, что за смену потребует наладки ровно два станка, равна 0,13. вероятность того, что за смену потребуют наладки больше двух станков, равна 0,07. Какова вероятность того, что за смену придется проводить наладку станков?
2. Шесть человек случайным образом рассаживаются на скамейке. Найти вероятность того, что два фиксированных лица окажутся рядом.
3. Из полной колоды карт (52), тщательно перемешанных, извлекают 4 карты. Найти вероятность того, что все из них будут тузы.

Вариант № 23

1. Стрелок стреляет в мишень. Вероятность выбить 10 очков равна 0,3, а вероятность выбить 9 очков равна 0,6. Чему равна вероятность выбить не менее 9 очков?
2. Найти вероятность того, что при одновременном бросании двух игральных костей сумма выпавших очков будет не менее 9.
3. Участники жеребьевки тянут жетоны с номерами от 1 до 100. Найти вероятность того, что номер первого, наудачу извлеченного жетона, не содержит цифры 3.

Вариант № 24

1. Два стрелка, для которых вероятность попадания в мишень равна 0,8 и 0,7, производят по одному выстрелу в мишень. Найти вероятность хотя бы одного попадания в мишень.
2. Телефонный номер состоит из семи цифр. Найти вероятность того, что первая цифра номера – двойка.
3. Группа туристов из 15 юношей и 5 девушек выбирает по жребию хозяйственную команду из четырех человек. Найти вероятность того, что в числе избранных окажутся два юноши и две девушки.

Вариант № 25

1. Имеется три ящика, содержащих по 10 деталей. В первом ящике 8 стандартных деталей, во втором – 7, в третьем – 9. Из каждого ящика вынимают наудачу по одной детали. Найти вероятность того, что три вынутые детали окажутся стандартными.
2. Найти вероятность того, что наудачу взятая кость из игры домино содержит число не менее 4 и не более 6.
3. Вероятность хотя бы одного попадания стрелком в мишень при тех выстрелах равна 0,875. Найти вероятность попадания при одном выстреле.

 

Практическая работа № 3

Тема: «Использование теорем сложения и умножения вероятностей при решении задач»

Решить задачи согласно своего варианта:

Вариант № 1

1. Бросаются три одинаковые монеты. Вычислить вероятность выпадения трёх гербов.
2. В ящике 8 деталей, среди которых 2 нестандартные. Найти вероятность того, что среди 5 наудачу отобранных деталей окажутся не более одной нестандартной детали.
3. Два стрелка стреляют по одной и той же цели. Вероятность попадания для первого стрелка 0,8, для второго – 0,9. Найти вероятность поражения цели (цель считается поражённой при попадании в неё хотя бы одной пули).

Вариант № 2

1. Двое задумали по одному целому числу: первый от 1 до 50, второй от 51 до 100. Какова вероятность того, что оба задумали числа, кратные 2?
2. В электрическую цепь последовательно включены 3 элемента, работающие независимо друг от друга. Вероятности отказов 1-го, 2-го и 3-го элементов соответственно равны 0,1; 0,15 и 0,2. Найти вероятность того, что тока в цепи не будет.
3. Какова вероятность того, что выбранное наудачу изделие окажется первосортным, если известно, что 2% всей продукции составляют нестандартные изделия, а 75% стандартных изделий удовлетворяют требованиям первого сорта.

Вариант № 3

1. Имеются два ящика с шарами. В первом 3 белых и 7 чёрных, во втором 6 белых и 9 чёрных. Из каждого извлекаются по одному шару. Какова вероятность того, что оба шара окажутся белыми?
2. Устройство содержит два независимо работающих элемента. Вероятности отказа элементов соответственно равны 0,05 и 0,08. Найти вероятность отказа устройства, если для этого достаточно, чтобы отказал хотя бы один элемент.
3. Вероятность того, что данный прибор проработает 500 часов, равна 0,8, а 800 часов – 0,2. Прибор проработал 500 часов. Какова вероятность того, что он проработает ещё 300 часов?

Вариант № 4

1. Один из мальчиков родился в марте, а другой – в апреле. Какова вероятность того, что оба они родились в первой неделе месяца?
2. Для разрушения моста достаточно попадания одной бомбы. Найти вероятность того, что мост будет разрушен, если на него будут сброшены 4 бомбы с вероятностями попадания соответственно 0,3; 0,4; 0,6; 0,7.
3. Чему равна вероятность того, что при одновременном бросании трёх игральных костей 2 очка появятся на двух костях?

Вариант № 5

1. Из натуральных чисел, не превосходящих 100, берутся два произвольных числа. Определить вероятность того, что оба эти числа делятся на 5.
2. Вероятность хотя бы одного попадания в цель при трёх выстрелах равна 0,875. Найти вероятность попадания при одном выстреле.
3. Рабочий обслуживает три станка. Вероятность бесперебойной работы на протяжении одного часа после наладки для 1-го станка равна 0,8, для 2-го – 0,9, для 3-го – 0,75. Найти вероятность того, что на протяжении часа только один станок потребует вмешательства рабочего.

Вариант № 6

1. Какова вероятность того, что задуманное в пределах 100 целое число делится на 10 или 11?
2. Вероятность хотя бы одного попадания в цель при 4-х выстрелах равна 0,9984. Найти вероятность попадания в цель при одном выстреле.
3. Вероятность того, что каждый из трёх друзей придёт в условленное место, соответственно равна р₁ =0,8; р₂=0,4; р₃=0,7. Определить вероятность того, что встреча состоится, если для этого достаточно явиться двум из трёх друзей.

Вариант № 7

1. Имеются 5 букв: р, е, г, й, о. Какова вероятность того, что произвольное расположение их одной за другой даёт слово «герой»?
2. В урне А белых и В чёрных шаров. Из урны вынимают два шара. Найти вероятность того, что эти шары будут разного цвета.
3. Вероятность того, что данный прибор проработает 160 часов, равна 5/7, а 400 часов – 4/7. Прибор проработал 150 часов. Какова вероятность того, что он проработает ещё 250 часов?

Вариант № 8

1. На клумбе 20 красных астр, 10 синих и 30 белых. Какова вероятность того, что сорванная в темноте астра окажется красной или синей?
2. Рабочий обслуживает три станка. Вероятность бесперебойной работы на протяжении одного часа после наладки для первого станка равна 0,9, для второго – 0,8 и для третьего – 0,7. Найти вероятность того, что за этот час два станка потребуют вмешательства рабочего.
3. В урне А белых и В чёрных шаров. Из урны вынимают два шара. Найти вероятность того, что оба шара будут белыми.

Вариант № 9

1. Определить вероятность того, что при бросании монеты 10 раз она все десять раз упадёт одной и той же стороной.
2. Рабочий обслуживает 3 станка. Известно, что вероятность бесперебойной работы на протяжении одного часа после наладки равна для первого станка 0,9, для второго – 0,8 и для третьего – 0,7. Найти вероятность того, что за этот час лишь один станок потребует вмешательства рабочего.
3. Вероятность того, что стрелок при одном выстреле выбьет 10 очков, равна 0,1, вероятность выбить 9 очков равна 0,3, вероятность выбить 8 или меньше очков равна 0,6. Найти вероятность того, что при одном выстреле стрелок выбьет не менее 9 очков.

Вариант № 10

1. Имеется лабиринт с шестью разветвлениями пути. Из каждого разветвления идут два пути, причём один из них ведёт в тупик. Вычислить вероятность пройти по этому лабиринту, не заходя ни в один из тупиков.
2. Для сигнализации об аварии установлены 2 независимо работающих устройства. Вероятность того, что при аварии сработает первое устройство, равна 0,9, второе – 0,95. Найти вероятность того, что при аварии сработает хотя бы одно устройство.
3. В партии из 10 деталей 8 стандартных. Найти вероятность того, что среди наудачу извлечённых двух деталей будет хотя бы одна стандартная.

Вариант № 11

1. На шести одинаковых карточках написаны буквы А, В, К, М, О и С. Карточки перемешиваются и раскладываются на удачу в ряд. Какова вероятность того, что получилось слово «МОСКВА»?
2. Три стрелка стреляют в одну мишень, при этом вероятность попадания с одного выстрела равна соответственно 0,8, 0,7, 0,6. Найти вероятность появления в мишени двух пробоин в результате одновременного выстрела всех трёх стрелков.
3. Для сигнализации об аварии установлены три независимо работающих устройства. Вероятность того, что при аварии сработает первое устройство, равна 0,9, второе – 0,95 и третье – 0,85. Найти вероятность того, что при аварии сработает хотя бы одно устройство.

Вариант № 12

1. Из урны, содержащей 5 шаров, занумерованных числами 1, 2, 3, 4, 5 извлекаются наудачу все 5 шаров один за другим. Какова вероятность того, что номера извлечённых шаров идут в возрастающем порядке.
2. Вероятность поражения цели для данного стрелка при одном выстреле равна 0,8. Стрелок произвёл три выстрела. Найти вероятность поражения цели хотя бы одной пулей.
3. События А, В, С и Д образуют полную группу. Вероятности событий таковы: Р(А)= 0,1, Р(В)=0,4, Р(С)=0,3. Чему равна вероятность события Д?

Вариант № 13

1. Из 10 билетов выигрышными являются 2. Определить вероятность того, что среди взятых наудачу 2 билетов оба будут выигрышными.
2. Брошена монета и игральная кость. Найти вероятность совмещения событий: «появился герб» и «появилось 4 очка».
3. Три стрелка стреляют в одну мишень. При этом известно, что вероятность попадания с одного выстрела для первого стрелка равна 0,8, для второго – 0,7, для третьего – 0,6. Найти вероятность появления в мишени одной пробоины в результате одновременного выстрела всех трёх стрелков.

Вариант № 14

1. К концу дня в палатке осталось 60 арбузов, из которых 50 спелых. Покупатель выбирает 2 арбуза. Какова вероятность того, что оба арбуза спелые?
2. В сосуде имеются 11 шаров, из которых 4 цветных и 7 белых. Найти вероятность двукратного извлечения из сосуда цветного шара: а) если вынутый шар возвращается обратно; б) если вынутый шар обратно в сосуд не возвращается.
3. Рабочий обслуживает 3 станка, из которых на первом вероятность нарушения нормальной работы в течение часа после проверки составляет 0,1, на втором – 0,15, на третьем – 0,2. Найти вероятность того, что после наладки хотя бы один из станков потребует ремонта.

Вариант № 15

1. Вероятность поражения цели первым стрелком 0,8, а вторым – 0,6. Найти вероятность попадания в цель хотя бы одной пули, если оба стрелка произведут по одному выстрелу.
2. Найти вероятность того, что подброшенная игральная кость падет, показав на верхней грани четное и краткое трем число.
3. В ящике 10 деталей, среди которых 2 нестандартные. Найти вероятность того, что в наудачу отобранных 6 деталей окажется не более одной нестандартной.

Вариант № 16

1. Найти вероятность того, что сумма выпавших очков на двух игральных костях, подброшенных один раз, равна 10.
2. В двух ящиках находятся детали: в 1 – 10 (из них 3 стандартных), во 2 – 15 (из них 6 стандартных). Из каждого ящика наудачу вынимают по одной детали. Найти вероятность того, что обе детали окажутся стандартными.
3. В группе 25 студентов. Из них отлично успевают по математике 5 человек, хорошо – 12, удовлетворительно – 6, слабо – 2. Найти вероятность того, что студент, вызванный на удачу, будет отличник или хорошист.

Вариант № 17

1. Среди 40 деталей 5 нестандартных. Взяты на удачу 2 детали. Найти вероятность того, что обе детали будут нестандартными.
2. В студии телевидения 3 видеокамеры. Для каждой камеры вероятность того, что она включена в данный момент, равна 0,6. Найти вероятность того, что в данный момент включена хотя бы одна камера.
3. Из трех станков, обслуживаемых одним рабочим, вероятность остановки на протяжении одного часа составляет для одного станка 0,2, для 2 0,15 и для 3 – 0,12. Какова вероятность бесперебойной работы всех 3 станков на протяжении одного часа?

Вариант № 18

1. Студент знает 45 вопросов из 60. Каждый экзаменационный билет содержит 3 вопроса. Найти вероятность того, что студент знает все 3 вопроса.
2. Рабочий обслуживает 3 станка, работающих независимо друг от друга. Вероятность того, что в течение часа первый станок не потребует внимания рабочего, равна 0,9, для 2 станка – 0,8 и для 3 – 0,85. Найти вероятность того, что в течение часа какой-нибудь один станок потребует внимания рабочего.
3. Найти вероятность двукратного извлечения белого шара из урны, в которой имеются 5 белых, 6 черных и 8 синих шаров, если вынутый шар обратно в урну не возвращаются.

Вариант № 19

1. На карточках написаны буквы: О, П, Р, С ,Т. Найти вероятность того, что на произвольно расположенных в одну линию карточках можно прочесть слово «спорт».
2. Найти вероятность двукратного извлечения белого шара из урны, в которой из 12 шаров имеются 7 белых: а) если вытянутый шар возвращается обратно в урну; б) если вытянутый шар в урну не возвращается.
3. Рабочий обслуживает 3 станка, которые работают независимо друг от друга. Вероятность того, что в течение часа первый станок не потребует внимания рабочего, равна – 0,9, для 2 – 0,8 и для 3 – 0,85. Какова вероятность того, что в течение часа хотя бы один станок потребует внимания рабочего?

Вариант № 20

1. На каждой из шести одинаковых карточек напечатана одна из следующих букв: А, Т, М, Р, С, О. Карточки перемешаны. Найти вероятность того, что на четырёх, вынутых по одной и расположенных в один ряд карточках, можно будет прочесть слово «трос».
2. Вероятность всхожести предназначенных к посеву семян равна 0,98. Вероятность попадания семян на пригодный для прорастания данного растения участок почвы равна 0,95. Какой процент семян при посеве в этих условиях даст всходы?
3. Чему равна вероятность того, что при одновременном бросании трёх монет герб появится хоть на одной монете?

Вариант № 21

1. Буквы, составляющие слово «Одесса», написаны по одной на шести карточках, тщательно перемешаны и положены в пакет. Найти вероятность того, что, вынимая карточки по одной и расставляя в ряд мы получим слово: а) сад; б) асс; в) сода.
2. Предприятие изготовляет 95% изделий стандартных, причём 86% из них первого сорта. Найти вероятность того, что взятое наудачу изделие этого предприятия окажется изделием первого сорта.
3. Чему равна вероятность того, что при бросании 3-х игральных костей 6 очков появится хотя бы на одной из костей.

Вариант № 22

1. Какова вероятность того, что при извлечении двух карт из полной колоды 52 игральных карт обе они окажутся бубновой масти?
2. Три электрических лампочки последовательно включены в цепь. Вероятность того, что одна (любая) лампочка перегорит, если напряжение в сети превысит номинальное, равна 0,6. Найти вероятность того, что при повышенном напряжении тока в цепи не будет.
3. Пассажир, покупая билет, может только с вероятностью 0,9 рассчитывать на получение удобного для него места в вагоне. К тому же поезд может опоздать к станции назначения пассажира с вероятностью 0,01. Какова вероятность того, что пассажир в срок прибудет к месту назначения с желательными для него удобствами?

Вариант № 23

1. Монета подбрасывается 6 раз. Найти вероятность того, что хотя бы один раз появится герб.
2. Вероятность поражения цели первым стрелком при одном выстреле равна 0,8 а вторым стрелком – 0,6. Найти вероятность того, что цель будет поражена только одним стрелком, если стрелки произвели только по одному выстрелу.
3. Из цифр 2, 3, 4, 5, 6 выбирается на удачу одна, затем из остальных выбирается другая. Какова вероятность того, что обе выбранные цифры четные?

Вариант № 24

1. Три стрелка в одинаковых условиях произвели по одному выстрелу по одной цели. Вероятность поражения цели первым стрелком равна 0,9, вторым – 0,8, третьим – 0,7. Найти вероятность того, что все три стрелка промахнутся.
2. В урне 8 шаров черного и 12 белого цвета. Вычислить вероятность того, что при извлечении из урны двух шаров оба будут черного цвета.
3. Вероятность того, что событие А появиться хотя бы один раз при двух независимых испытаниях, равна 0,75. Найти вероятность появления события в одном испытании.

Вариант № 25

1. На двух станках изготовляются одинаковые детали. Известно, что производительность первого станка в два раза больше второго и что вероятность изготовления детали высшего качества на первом станке равна 0,99, а на втором – 0,96. Изготовленные за смену на обоих станках не рассортированные детали находятся на складе. Найти вероятность того, что наудачу взятая деталь изготовлена на первом станке и окажется высшего качества.
2. Набирая номер телефона, абонент забыл две последние цифры и, помня лишь, что они различны, набрал их наудачу. Найти вероятность того, что набраны нужные цифры.
3. В денежно-вещевой лотерее, в которой разыгрываются 120 денежных и 80 вещевых выигрышей, 10000 билетов. Найти вероятность того, что на приобретенный один лотерейный билет выпадет выигрыш вещевой или денежный.

Практическая работа № 4

Тема: «Использование формул полной вероятности и формулы Бейеса для нахождения вероятностей событий»

Решить задачи согласно своего варианта:

Вариант № 1

1. На сборку поступают детали с трёх автоматов. Первый даёт 25%, второй – 30% и третий – 30% и третий – 45% деталей данного типа, поступающих на сборку. Первый автомат допускает 0,1% нестандартных деталей, второй – 0,2%, третий – 0,3%. Найти вероятность поступления на сборку нестандартной детали.
2. В специализированную больницу поступает в среднем 60% больных с заболеванием К, 30% бальных с заболеванием Л, 10% с заболеванием М. Вероятность полного излечения болезни К равна 0,7, для болезней Л и М эти вероятности равны  0,8 и 0,9. Найти вероятность того, что наугад выбранный больной, поступивший в больницу, будет выписан здоровым.
3. Пусть в условиях предыдущей задачи больной, поступивший в больницу, был выписан здоровым. Найти вероятность того, что этот больной страдал заболеванием К.

Вариант № 2

1. Имеются два набора деталей. Вероятность того, что деталь первого набора бракована, равна 0,01%, а второго – 0,02. Найти вероятность того, что взятая наудачу деталь и наудачу взятого набора качественная.
2. Для сигнализации о том, что режим работы автоматической линии отклоняется от нормального, используется индикатор. Он принадлежит с вероятностями 0,2, 0,3 и 0,5 к одному из трёх типов, для которых вероятность срабатывания при нарушении нормальной работы равны соответственно 0,9, 0,7 и 0,6. Найти вероятность того, что наудачу взятый индикатор сработает при нарушении нормальной работы линии.
3. Пусть в условиях предыдущей задачи от индикатора получим сигнал. Найти вероятность того, что индикатор принадлежит к первому типу.

Вариант № 3

1. Имеются три урны с шарами. В первой урне 4 белых и 3 черных, во второй 5 белых и 2 черных, в третьей 2 белых и 5 черных. Некто выбирает наугад одну из урн и вынимает из нее шар. Найти вероятность того, что этот шар окажется белым.
2. На двух автоматических станках изготовляются одинаковые детали. Известно, что вероятность изготовления детали высшего качества на первом станке равна 0,92, а на втором – 0,8. Изготовленные на обоих станках не рассортированные детали находятся на складе. Среди них деталей, изготовленных на первом станке, в три раза больше, чем на втором. Найти вероятность того, что наудачу взятая деталь будет высшего качества.
3. Пусть в условиях предыдущей задачи наудачу взятая деталь окажется высшего качества. Найти вероятность того, что она изготовлена на втором станке.

Вариант № 4

1. Некоторое изделие может поступить для обработки в случайном порядке на один из трёх станков с вероятностями соответственно равными Р1=0,2; Р2=0,3; Р3=0,5. При обработке на первом станке вероятность брака равна 0,02, на втором – 0,3, на третьем — 0,05. Найти вероятность того, что поступившие в цех изделие после обработки окажется удовлетворяющим техническим условиям.
2. Пусть в условиях предыдущей задачи, поступившее в цех изделие после обработки оказалось удовлетворяющим техническим условиям. Какова вероятность того, что изделие обрабатывалось на третьем станке?
3. В ящике имеются 5 деталей, среди которых могут быть и бракованные. Вынутая наугад  оказалось не бракованной. Найти вероятность того, что 3 детали в ящике не бракованные, а 2 бракованные, если предположить, что до опыта все гипотезы равновозможные.

Вариант № 5

1. Радиолампа может принадлежать к одной из двух партий с вероятностями р₁=0,6 и р₂=0,4. Вероятности того, что лампа проработает заданное число часов, равны для этих партий соответственно 0,7 и 0,8. Определить вероятность того, что лампа проработает заданное число часов.
2. Пусть в условиях предыдущей задачи лампа проработает заданное число часов. Какова вероятность того, что она принадлежит к первой партии?
3. В ящике имеются 4 детали, среди которых могут быть и бракованные. Вынутая наугад деталь оказалась не бракованной. Определить вероятность того, что все детали в ящике не бракованные. (Предполагается, что до опыта все гипотезы равновозможны).

Вариант № 6

1. В первой коробке 20 деталей, из них 18 стандартных, во второй коробке 10 деталей, из них 7 стандартных. Из второй коробки наудачу взята деталь и переложена в первую. Найти вероятность того, что деталь, наудачу извлеченная из первой коробки, стандартна.
2. Пусть в условиях предыдущей задачи деталь, извлеченная из первой коробки, оказалась стандартной. Найти вероятность того, что из второй коробки переложена в первую стандартная деталь.
3. Детали, изготовленные цехом завода, попадают для проверки их на стандартность к одному из двух контролеров. Вероятность того, что деталь попадет к первому контролеру, равна 0,6, а ко второму – 0,4. Вероятность того, что годная деталь будет признана стандартной первым контролером, равна 0,94, а вторым – 0,98. Найти вероятность того, что годная деталь будет признана стандартной.

Вариант № 7

1. Имеются два набора деталей. Вероятность того, что деталь первого набора стандартна, равна 0,8, а второго – 0,9. найти вероятность того, что взятая наудачу деталь из наудачу взятого набора нестандартна.
2. Пусть в условиях предыдущей задачи взятая наудачу деталь из наудачу взятого набора оказалась нестандартной. Какова вероятность того, что она принадлежала первому набору?
3. На сборку поступают детали с трех автоматов. Первый дает 20%, второй 30% и третий 50% деталей данного типа, поступающих на сборку. Первый автомат допускает 0,2% брака деталей, второй – 0,3%, третий – 0,5%. Найти вероятность того, что взятая наудачу деталь стандартна.

 

Вариант № 8

1. В цехе три типа автоматических станков производят одни и те же детали. Станки первого типа производят 0,94 деталей отличного качества, второго – 0,9 и третьего – 0,85. Все произведенные в цехе за смену детали в не рассортированном виде сложены на складе. Определить вероятность того, что взятая наудачу деталь окажется отличного качества, если станков первого типа 5 штук, второго – 3 штуки, третьего – 2 штуки и производительность всех одинакова.
2. Пусть в условиях предыдущей задачи взятая наудачу деталь оказалась отличного качества. Найти вероятность того, что она была произведена на станке первого типа.
3. Имеются три одинаковых по виду ящика. В первом ящике 20 белых шаров, во втором – 10 белых и 10 черных, в третьем – 20 черных шаров. Из выбранного наудачу ящика вынули белый шар. Вычислить вероятность того, что шар вынут из первого ящика.

Вариант № 9

1. В ящик, содержащий две детали, брошена стандартная деталь, а затем наудачу извлечена одна деталь. Найти вероятность того, что извлечена стандартная деталь, если равновероятны все возможные предположения о числе стандартных деталей, первоначально находящихся в ящике.
2. Пусть в условиях предыдущей задачи извлечена стандартная деталь. Найти вероятность того, что первоначально в ящике была одна стандартная и одна нестандартная деталь.
3. По линии связи передаются два сигнала А и В соответственно с вероятностями 0,84 и 0,16. Из-за помех 1/6 часть сигналов А искажается и принимается как В-сигналы, а 1/8 часть переданных В-сигналов принимается как А–сигналы. Найти вероятность того, что на приемном пункте появится А –сигнал.

Вариант № 10

1. В группе спортсменов 20 лыжников, 6 велосипедистов, 4 бегуна. Вероятность выполнить квалификационную норму для лыжника равна 0,9, для велосипедистов – 0,8 и для бегуна – 0,6. найти вероятность того, что спортсмен, выбранный наудачу, выполнит квалификационную норму.
2. Пусть в условиях предыдущей задачи спортсмен выполнил квалификационную норму. Найти вероятность того, что это был велосипедист.
3. В двух урнах находятся белые и черные шары. В первой 3 белых и 2 черных, во второй 2 белых и 2 черных. Из первой урны наудачу вынимают один шар и перекладывают во вторую, а затем из второй урны наудачу извлекают один шар. Найти вероятность того, что этот шар будет белым.

Вариант № 11

1.Для участия в студенческих отборных соревнованиях выделено из первой группы курса 4, из второй 6, из третьей 5 студентов. Вероятность того, что студенты первой, второй и третьей групп попадут в сборную института соответственно равна 0,9; 0,7; и 0,6. Найти  вероятность того, что студент, выбранный на удачу, в итоге соревнований попадет в сборную.

2. Пусть в условиях предыдущей задачи наудачу выбранный студент в итоге соревнований попал в сборную. Найти вероятность того, что это был студент первой группы.
3. В первом ящике содержатся 12 ламп, из них одна нестандартная; во втором 10 ламп, из них также одна нестандартная. Из первого ящика наудачу взята лампа и переложена во второй. Найти вероятность того, что наудачу извлеченная из второго ящика лампа будет нестандартной.

Вариант № 12

1. Возле бензоколонки, стоящей на шоссе, проезжает в среднем 80% грузовых и 20% легковых автомашин. Вероятность того, что будет заправляться грузовая машина, равна 0,05, для легковой эта вероятность равна 0,1. Найти вероятность того, что выбранная наудачу машина будет заправляться.
2. В телевизионном ателье имеется 4 кинескопа разных типов. Вероятность того, что кинескоп выдержит гарантийный срок службы, соответственно равна 0,8; 0,85; 0,9; 0,95. Найти вероятность того, что взятый наудачу кинескоп выдержит гарантийный срок.
3. Пусть в условиях предыдущей задачи выбранный наудачу кинескоп выдержал гарантийный срок службы. Найти вероятность того, что это был кинескоп 1-го типа.

Вариант № 13

1. В первой коробке содержится 15 деталей, из них 12 стандартных, во второй коробке 10 деталей, из них8 стандартных. Из первой коробки наудачу взята деталь и переложена во вторую. Найти вероятность того, что деталь, наудачу извлеченная из второй, коробки будет стандартной.
2. Некоторое изделие может поступить для обработки в случайном порядке, на один из трех станков с вероятностью соответственно равной 0,2; 0,3; и 0,5. При обработке на первом станке вероятность брака равна 0,02, на втором станке-0,03 и на третьем-0,05. Найти вероятность того, что выбранное на удачу изделие после обработки оказалось бракованным.
3. Пусть в условиях предыдущей задачи поступившее в цех изделие после обработки оказалось доброкачественным.

Вариант № 14

1. Имеются два набора деталей. Вероятность того, что деталь первого набора бракованная, равна 0,01, а второго-0,02. Найти вероятность того, что взята наудачу деталь из наудачу взятого набора доброкачественная.
2. Радиолампа, поставленная в телевизор, может принадлежать к одной из трех партий с вероятностью 0,2; 0,5 и 0,3. Вероятность того, что лампа проработает определенное количество часов, для этих партий равна, соответственно 0,8; 0,6 и 0,9. Найти вероятность того, что выбранная наудачу лампа проработает определенное количество часов.
3. Пусть в условиях предыдущей задачи радиолампа, выбранная на удачу, проработала определенное число часов. Найти  вероятность того, что радиолампа принадлежала первой партии.

Вариант № 15

1. В первом ящике содержатся 20 деталей, из них 15 стандартных, во втором-30 деталей, из них 27 стандартных; в третьем – 10 деталей, из них 9 стандартных. Найти вероятность того, что наудачу извлеченная деталь из наудачу взятого ящика стандартная.
2. Пусть в условиях предыдущей задачи наудачу извлеченная деталь оказалась нестандартной. Какова вероятность того, что она извлечена из первого ящика?
3. Два автомата производят детали, которые поступают на общий конвейер. Вероятность получения нестандартной детали на первом автомате равна 0,06, а на втором – 0,03. производительность первого автомата вдвое больше второго. Найти вероятность того, что наудачу взятая с конвейера деталь нестандартна.

Вариант № 16

1. Сборщик получил три коробки Деталей, изготовленных заводом № 1, две коробки деталей, изготовленных заводом № 2. Вероятность того, что деталь завода № 1 стандартна, равна 0,8, а завода № 2 0,9. Сборщик наудачу извлек деталь из наудачу взятой коробки. Найти вероятность того, что извлечена стандартная деталь.
2. Пусть в условиях предыдущей задачи сборщик извлек стандартную деталь. Какова вероятность того, что она изготовлена заводом № 1?
3. Для участия в студенческих отборочных соревнованиях выделено из первой группы четыре студента, из второй – десять, из третей шесть студентов. Вероятность того, что отобранный студент из первой, второй, третей групп попадает в сборную института, равна соответственно 0,5, 0,4 и 0,3. Наудачу выбранный участник соревнования попал в сборную. Какова вероятность того, что он из первой группы?

Вариант № 17

1. В группе легкоатлетов 8 барьеристов, 12 бегунов на длинные дистанции и 10 прыгунов с шестом. Вероятность выполнить квалификационную норму для барьериста равна 0,9, для бегуна – 0,5 и для прыгуна с шестом 0,6. Найти вероятность того, что спортсмен, выбранный наудачу, выполнит квалификационную норму.
2. Пусть в условиях предыдущей задачи выбранный наудачу спортсмен выполнил квалификационную норму. Найти вероятность того, что это прыгун с шестом.
3. Среди поступающих на сборку деталей с первого станка 0,1% бракованных, со второго – 0,2%, с третьего — 0,3% и с четвертого – 0,5%. Производительности их относятся как 4:3:2:1 соответственно. Взятая наудачу деталь оказалась стандартной. Найти вероятность того, что она произведена на первом станке.

Вариант № 18

1. Имеется три набора деталей. Вероятность того, что деталь первого набора стандартна, равна 0,9, второго – 0,75, третьего – 0,6. Найти вероятность того, что взятая наудачу деталь из наудачу взятого набора стандартна.
2. Имеются две урны с шарами. В первой урне 34 белых и 6 черных, во второй 3 белых и 2 черных. Из первой урны наудачу извлекается один шар и перекладывается во вторую. Затем из второй урны извлекается шар. Найти вероятность того, что этот шар белый.
3. Пусть в условии предыдущей задачи из второй урны извлечен белый шар. Какова вероятность того, что из первой урны во вторую был переложен белый шар?

Вариант № 19

1. Пластмассовые болванки изготовляются на трех прессах. Первый пресс производит 50% всех болванок, второй – 30% и третий – 20%. При этом из болванок с первого пресса в среднем 0,03 нестандартных, из болванок со второго пресса с среднем 0,02 нестандартных, и из болванок с третьего пресса – 0,01 нестандартных. Какова вероятность того, что взятая наудачу болванка соответствует стандарту?
2. Пусть в условиях предыдущей задачи взятая наудачу болванка оказалась стандартной. Какова вероятность того, что она изготовлена на первом прессе?
3. В первой коробке содержатся 20 радиоламп, из них 18 стандартных; во второй коробке – 10 радиоламп, из них 8 стандартных. Из второй коробки наудачу взята лампа и переложена в первую. Найти вероятность того, что лампа, наудачу извлеченная из первой коробки, будет стандартной.

Вариант № 20

1. Детали для сборки изготавливаются на двух станках, из которых первый производит деталей в 4 раза больше второго. При этом брак составляет в выпуске первого станка 0,2, а в выпуске второго – 0,01. Найти вероятность того, что взятая наугад деталь окажется годной для сборки.
2. Пусть в условия предыдущей задачи взятая наугад деталь оказалась годной для сборки. Найти вероятность того, что она изготовлена на первом станке.
3. В первой урне находятся 2 белых и 3 черных шара, во второй – 4 белых и 1 черный. Из первой урны на удачу извлечен один шар и переложен во вторую. Найти вероятность того, что шар, наудачу извлеченный из второй урны, будет белый.

Вариант № 21

1. Некоторое изделие может поступить для обработки, в случайном порядке, на один из двух станков с вероятностями 0,6 и 0,4. При обработке на первом станке вероятность брака равна 0,02, на втором станке – 0,03. Найти вероятность того, что поступившее в цех изделие после обработки окажется удовлетворяющим техническим условиям.
2. Пусть в условиях предыдущей задачи поступившее в цех изделие после обработки оказалось удовлетворяющим техническим условиям. Найти вероятность того, что оно обрабатывалось на втором станке.
3. В двух урнах находятся шары белого и чёрного цвета. В первой урне – 5 белых и 3 чёрных, во второй – 3 белых и 2 чёрных. Из первой урны наудачу извлечён один шар и переложен во вторую. Найти вероятность того, что шар, наудачу извлечённый из второй урны, будет белого цвета.

Вариант № 22

1. Имеются два набора деталей. Вероятность того, что деталь первого набора стандартна, равна 0,95, а второго – 0,85. Найти вероятность того, что взятая наудачу деталь из наудачу взятого набора стандартна.
2. Пусть в условиях предыдущей задачи извлечена нестандартная деталь. Найти вероятность того, что она извлечена из первого набора.
3. Имеются 5 винтовок, из которых две с оптическим прицелом. Вероятность попадания в цель при выстреле из винтовки с оптическим прицелом составляет для данного стрелка 0,95, без оптического прицела 0,8. Найти вероятность попадания в цель, если стрелок сделает один выстрел из наудачу взятой винтовки.

Вариант № 23

1. Прибор может работать в двух режимах: нормальном и ненормальном. Нормальный режим наблюдается в 80% всех случаев работы прибора, ненормальный – в 20%. Вероятность выхода из строя прибора за время Т в нормальном режиме равна 0,1, в ненормальном – 0,7. Найти вероятность выхода прибора из строя за время Т.
2. Пусть в условиях предыдущей задачи прибор вышел из строя за время Т. Найти вероятность того, что он работал в нормальном режиме
3. Имеются три одинаковые урны. В первой 5 белых и 3 черных, во второй 3 белых и 1 черный, в третьей только белые шары. Некто подходит наугад к одной из урн и вынимает из нее один шар. Найти вероятность того, что этот шар белый.

Вариант № 24

1. Приборы одного наименования изготовляются двумя заводами; первый завод поставляет 60 % всех изделий, второй – 40%. Вероятность безотказной работы за время Т прибора, изготовленного первым заводом, равна 0,9, вторым – 0,8. Определить вероятность безотказной работы взятого наудачу прибора, поступившего на производство
2. Пусть в условиях предыдущей задачи взятый наудачу прибор проработал безотказно время Т. Какова вероятность того, что этот прибор изготовлен первым заводом?
3. Пассажир может обратиться за получением билета в одну из двух касс. Вероятность обращения в каждую кассу зависит от их местоположения и равна соответственно 0,7 и 0,3. Вероятность того, что к моменту прихода пассажира билеты будут распроданы, равна для первой кассы 0,8, для второй – 0,4. Найти вероятность того, что, выбрав наудачу кассу, пассажир приобретает билет.

Вариант № 25

1. Производится стрельба по цели. Цель состоит из трех частей, площади которых равны S₁, S₂, S₃ (S₁ + S₂+ S₃ =S). Для попавшего в цель снаряда вероятность попасть в ту или другую часть пропорциональна площади части. При попадании в первую часть цель поражается с вероятностью Р₁, во вторую – Р₂, в третью – Р₃. Найти вероятность поражения цели, если известно, что в нее попал один снаряд.
2. На первом заводе на каждые 100 лампочек производится в среднем 90 стандартных, на втором – 95, на третьем – 85, а продукция их составляет соответственно 50, 30 и 20 процентов всех электролампочек, поставляемых в магазины данного района. Найти вероятность приобретения стандартной электролампочки.
3. Пусть в условиях предыдущей задачи элекролампочка, приобретенная в магазине данного района, оказалась стандартной. Найти вероятность того, что лампочка произведена на первом заводе.

 

Практическая работа № 5

Тема: «Использование формулы Бернулли. Локальная и интегральная теоремы Лапласа»

Решить задачи согласно своего варианта:

Вариант № 1

1. Вероятность того, что расход электроэнергии на протяжении одних суток не превысит установленный нормы, равна 0,8. Найти вероятность того, что в ближайшие 5 суток расход электроэнергии в течение 3 суток не превысит нормы, а в остальные 2 суток превысит норму.
2. Вероятность обрыва нити на одно веретено в течение часа равна 0,1. Найти вероятность того, что число обрывов в час на 100 веретён будет:

а) ровно 16; б) не менее 7, но не более 13.

Вариант № 2

1. Найти вероятность того, что событие А появится в четырёх независимых испытаниях не менее двух раз, если в каждом испытании вероятность появления события А равна 0,2.
2. Вероятность поражения мишени при одном выстреле  равна 0,9. Определить вероятность того, что при 100 выстрелах мишень будет поражена:  а) ровно 90 раз; б) от 81 до 93 раз.

Вариант № 3

1. В цеху  4 мотора. Для каждого мотора вероятность того, что он в  данный момент включен, равна 0,6. Найти вероятность того, что в данный  момент:

а) включено два мотора;

б) включены все моторы;

2. Вероятность попадания по движущейся мишени равна 0,2. Какова вероятность того, что из 26 выстрелов:

а) 9 окажутся удачными;

б) число удачных выстрелов будет от 3 до 9?

Вариант № 4

1. Вероятность изготовления на автоматическом станке стандартной детали  равна 0,9. Определить вероятность того, что из трех взятых наудачу  взятых деталей:

а) две окажутся стандартными;

б) стандартными окажутся все три;

2. Вероятность выхода из строя за некоторое время Т одного конденсатора равна 0,1. Найти вероятность того, что из 100 конденсаторов  в течение времени Т из строя выйдут:

а) ровно 16 конденсаторов;

б) от 4 до 19 конденсаторов;

 

Вариант № 5

1. В хлопке изменяется 10% коротких волокон. Какова вероятность того, что в наудачу взятом пучке из 4 волокон окажется  не более двух коротких?
2. Вероятность поражения мишени при одном выстреле равна 0,8. Найти вероятность того, что из 400 выстрелов мишень будет поражена:

а) ровно 300 раз

б) от 240 до 349 раз

Вариант № 6

1. Найти вероятность того, что событие А появятся в пяти независимых испытаниях не менее двух  раз, если в каждом испытании вероятность его появления равна 0,2.
2. Найти вероятность того, что среди наудачу взятых 100 деталей 55 окажутся отполированными, если в общей массе деталей имеются поровну отполированных и не отполированных. Какова вероятность того, что число отполированных деталей будет не менее 45 и не более 50?

Вариант № 7

1. Найти вероятность того, что в 5 независимых испытаниях событие А появятся хотя бы 3 раза, если в каждом из них вероятность его появления равна 0,1.
2. Производятся 400 независимых испытаний, в каждом из которых вероятность наступления события равна 0,5. Найти вероятность того, что события наступят:

а) ровно 220 раз;

б) от 220 до 240 раз

Вариант № 8

1. Всхожесть семян данного сорта растений оценивается вероятностью 0,3. Какова вероятность того, что из 5 посеянных семян взойдет  не менее 4?
2. Вероятность появления события в каждом испытании равна 0,2. Производится 400 независимых  испытаний. Определить вероятность того, что событие появится:

а) ровно 60 раз

б) не менее 70 и не более 100 раз.

Вариант № 9

1. Найти вероятность того, что событие А появится в четырёх независимых испытаниях не более двух раз, если в каждом испытании вероятность появления этого события равна 0,8.
2. Вероятность появления события А в одном испытании равна 0,6. Какова вероятность появления этого события не менее 342 и не более 378 раз, если произведено 600 независимых испытаний? Какова вероятность того, что событие наступит ровно 360 раз?

Вариант № 10

1. Монету бросают 5 раз. Найти вероятность того, что герб выпадет не менее 4 раз.
2. При массовом производстве диодов вероятность брака при формовке равна 0,1. Какова вероятность того, что из 400 наугад взятых диодов 50 будут бракованными? Найти вероятность того, что бракованных будет от 25 до 55 диодов.

Вариант № 11

1. Вероятность попадания в цель составляет при отдельном выстреле 0,8. Найти вероятность 2 попаданий при 6 выстрелах.
2. Делают 900 подбрасываний монеты. Найти вероятность того, что число появлений герба будет:

а) ровно 480;

б) от 420 до 480 раз;

Вариант № 12

1. По цели производится 5 выстрелов. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,4. Для получения зачета по стрельбе требуется не менее 3 попаданий. Найти вероятность получения зачета.
2. В магазин поступило 400 книг по теории вероятности. Вероятность продажи каждой из них в течение дня равна 0,1. Найти вероятность того, что в течение дня будет продано:

а) ровно 40 книг;

б) от 30 до 50 книг.

Вариант № 13

1. Событие В появится в случае, если событие А появится не менее двух раз. Найти вероятность того, что наступит событие В, если будет произведено 5 независимых испытаний, и в каждом из которых вероятность появления события А равна 0,9.
2. При автоматической прессовке карболочных болванок 0,8 общего числа их не имеют зазубрин. Найти вероятность того, что из 100 взятых наудачу болванок число болванок без зазубрин будет:

а) ровно 75 штук;

б) не менее 75 и не более 85 штук.

Вариант № 14

1. В цехе 5 моторов. Для каждого мотора вероятность того, что он в данный момент включен, равна 0,8. Найти вероятность того, что в данный момент включены 2 мотора.
2. При вытачивании болтов наблюдается в среднем 10% брака. Какова вероятность того, что в партии из 400 болтов пригодными окажутся:

а) ровно 360 штук

б) не менее 348 и не более 366 штук

Вариант № 15

1. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,6. Найти вероятность двух попаданий при 5 выстрелах.
2. Электростанция обслуживает сеть с 10000 ламп. Вероятность включения каждой лампы равна 0,5. Определить вероятность того, что число  одновременно включенных ламп будет:

а) ровно 5100

б) лежать в пределах между 4950 и 5050

 

Вариант № 16

1. Вероятность изготовления стандартной детали на автоматическом станке равна 0,9. Найти вероятность того, что из 5 взятых наудачу деталей, 2 окажутся стандартными.
2. Вероятность поражения мишени при одном выстреле равна 0,4. Найти вероятность того, что мишень будет поражена в серии из 600 выстрелов:

а) ровно 240 раз;

б) не менее 210 и не более 240 раз.

Вариант № 17

1. Монету бросают 6 раз. Найти вероятность того, что герб выпадет не менее двух раз.
2. Вероятность поражение мишени стрелком при одном выстреле равна 0,8. Найти вероятность того, что при 100 выстрелах мишень будет поражена:

а) ровно 90 раз;

б) не менее 75 и не более 85 раз.

Вариант № 18

1. Произведено 4 независимых испытания, в каждом из которых вероятность появления события А равна 0,7. Найти вероятность того, что событие А появится хотя бы 2 раза.
2. Штамповка металлических клемм для соединительных пластин дает 20% брака. Определить вероятность того, что из 400 клемм, выбранных на удачу, соответствующими стандарту будут:

а) ровно 300 штук;

б) не менее 310 не более 330 штук.

Вариант № 19

1. Рабочий обслуживает 4 станка. Каждый станок в течение 6 часов работы несколько раз останавливается и всего в сумме стоит 0,6 часа, причем остановки их в любой момент времени равновероятны. Определить вероятность того, что в данный момент времени будут работать 2 станка.
2. Вероятность того, что деталь не прошла проверку ОТК, равна 0,2. Найти вероятность того, что среди 400 случайно отобранных деталей окажется не проверенных:

а) ровно 80 деталей;

б) от 70 до 100 деталей.

Вариант № 20

1. В случайно выбранной семье 5 детей. Считая вероятность рождения мальчика и девочки одинаковой, определить вероятность того, что в выбранной семье окажутся три мальчика и две девочки.
2. Всхожесть хранящегося на складе зерна равна 80%. Отбираются случайным образом 100 зерен. Определить вероятность того, что среди них число всхожих зерен окажется:

а) от 68 до 90 штук;

б) ровно 80 штук.

Вариант № 21

1. На складе находятся 500 одинаковых коробок с обувью. Известно, что в 200 коробках обувь черного цвета и в 300 – коричневого. Коробки не рассортированы по цвету обуви. Служащий берет 5 первых попавшихся коробок. Определить вероятность того, что среди них окажутся 3 коробки с обувью черного и две коробки с обувью коричневого цвета.
2. Известно, что 0,8 всего числа изготовляемых заводом телефонных аппаратов является продукцией первого сорта. Найти вероятность того, что среди 100 наудачу аппаратов первого сорта будут:

а) ровно 70 штук;

б) от 70 до 90 штук.

Вариант № 22

1. В семье 4 детей. Считая вероятность рождения мальчика и девочки одинаковой, найти вероятность того, что в этой семье 3 мальчика и 1 девочка.
2. Вероятность попадания в цель из скорострельного орудия равна при одном выстреле 0,9. Найти вероятность того, что при 100 выстрелах число попаданий будет:

а) ровно 93;

б) от 90 до 96.

Вариант № 23

1. В урне 30 белых и 20 черных шаров. Вынули подряд 3 шара, причем каждый вынутый шар возвращается в урну перед извлечением следующего и шары в урне перемешиваются. Какова вероятность того, что среди вынутых 3 шаров будет 1 белый.
2. При некотором технологическом процессе в среднем 1% шариков, изготовленных для подшипников, оказываются бракованными. Определить вероятность того, что среди поступивших на контроль 10000 шариков, бракованными окажутся:

а) 90 штук

б) от 80 до 100 штук

Вариант № 24

1. Вероятность появления события А равно 0,1. Какова вероятность того, что при 5 испытаниях событие А появится равно 3 раза?
2. По данным технического контроля в среднем 10% изготовляемых на заводе часов нуждаются в дополнительной регулировке. Чему равна вероятность того, что из 400 изготовленных часов будет нуждаться в дополнительной регулировке:

а) ровно 52 штуки;

б) от 34 до 52 штук?

Вариант № 25

1. Вероятность изготовления детали 1-го сорта на автоматическом станке равна 0,8. найти вероятность того, что из 3 взятых наудачу деталей 2 окажутся деталями 1-го сорта.
2. При данном технологическом процессе в среднем 90% всего числа изготовляемых заводом телефонных аппаратов являются продукцией высшей категории качества. Какова вероятность того, что из 100 выбранных наудачу телефонных аппаратов будут соответствовать продукции высшей категории качества:

а) ровно 84 аппарата;

б) от 84 до 96 аппаратов?

 

Письменный опрос

Вариант № 1

Теоретическая часть

1. Что является предметом теории вероятностей?
2. Какое событие называется достоверным? Пример
3. Что такое перестановки? Число всех возможных перестановок?
4. Как связаны условные вероятности двух независимых событий?
5. Напишите формулу Бейеса.

Практическая часть

1. При наборе телефонного номера абонент забыл две последние цифры и набрал их на удачу, помня только, что эти цифры нечётные и равные. Найти вероятность того, что номер набран правильно
2. Устройство содержит два независимо работающих элемента. Вероятности отказа элементов соответственно равны 0,05 и 0,08. Найти вероятность отказа устройства, если для этого достаточно, чтобы отказал хотя бы один элемент.
3. Вероятность появления успеха в каждом испытании равна 0,25. Какова вероятность того, что при 300 испытаниях успех наступит ровно 75 раз?

Вариант № 2

Теоретическая часть

1. Что такое «испытание»?
2. Дайте определение произведения событий. Примеры.
3. Какие события образуют полную группу? Примеры
4. Объясните условия независимых испытаний
5. Сформулируйте интегральную предельную теорему Муавра-Лапласа

Практическая часть

1. В лотерее 100 билетов, из которых 20 выигрышных. Участник лотереи покупает 3 билета. Определить вероятность того, что он выиграл хотя бы один билет?
2. Для разрушения моста достаточно попадания одной бомбы. Найти вероятность того, что мост будет разрушен, если на него будут сброшены 4 бомбы с вероятностями попадания соответственно 0,3; 0,4; 0,6; 0,7.
3. В первые классы должно быть принято 200 детей. Определить вероятность того, что среди них окажется 100 девочек, если вероятность рождения мальчика равна 0,515.

Вариант № 3

Теоретическая часть

1. Что такое «событие»?
2. Что такое размещение? Число всех возможных размещений?
3. При каких условиях можно применять классическое определение вероятности?
4. Какова вероятность суммы двух совместных событий?
5. Запишите формулу Бернулли

Практическая часть

1. В партии из 50 изделий 5 бракованных. Из партии выбираются наугад 6 изделий. Определить вероятность того, что среди этих 6 изделий 2 окажутся бракованными.
2. Вероятность того, что каждый из трёх друзей придёт в условленное место, соответственно равна р₁=0,8; р₂=0,4; р₃=0,7. Определить вероятность того, что встреча состоится, если для этого достаточно явиться двум из трёх друзей.
3. Какова вероятность того, что в столбике 100 наугад отобранных монет число монет, расположенных «гербом » вверх, будет от 45 до 55?

Вариант № 4

Теоретическая часть

1. Что такое «случайное событие»?
2. Чему равна вероятность невозможного и достоверного событий?
3. Какова вероятность произведения событий?
4. Каковы условия задачи, определяемой формулой полной вероятности?
5. Сформулируйте локальную предельную теорему Муавра-Лапласа

 

Практическая часть

1. Из полного набора костей домино на удачу берутся 5 костей. Найти вероятность того, что среди них будет хотя бы одна с шестеркой.
2. Рабочий обслуживает три станка. Вероятность бесперебойной работы на протяжении одного часа после наладки для первого станка равна 0,9, для второго – 0,8 и для третьего – 0,7. Найти вероятность того, что за этот час два станка потребуют вмешательства рабочего.
3. Производство даёт 1% брака. Какова вероятность того, что из взятых на исследование 1100 изделий выбраковано будет не больше 17?

Вариант № 5

Теоретическая часть

1. Какие события называют равновозможными?
2. Что такое сочетания? Число всех возможных сочетаний?
3. В чем заключается «правило произведения»?
4. Что такое условная вероятность?
5. Чему равна вероятность появления хотя бы одного события из независимых в совокупности событий?

Практическая часть

1. В колоде 36 карт четырёх мастей. После извлечения и возвращения одной карты колода перемешивается и снова извлекается одна карта. Определить вероятность того, что обе извлеченные карты одной масти?
2. Рабочий обслуживает 3 станка. Известно, что вероятность бесперебойной работы на протяжении одного часа после наладки равна для первого станка 0,9, для второго – 0,8 и для третьего – 0,7. Найти вероятность того, что за этот час лишь один станок потребует вмешательства рабочего.
3. Монета подбрасывается 8 раз. Какова вероятность того, что 6 раз она упадёт гербом вверх?

Вариант № 6

Теоретическая часть

1. Что такое «вероятность события»?
2. Дайте определение суммы событий. Примеры.
3. Какое событие называется невозможным? Пример
4. Какова вероятность противоположного события?
5. Напишите формулу полной вероятности

Практическая часть

1. В урне 7 белых и 3 чёрных шара. Из урны одновременно вынимают 2 шара. Какое событие более вероятно: А = {шары одного цвета} или В= {шары разных цветов}?
2. Три стрелка стреляют в одну мишень, при этом вероятность попадания с одного выстрела равна соответственно 0,8, 0,7, 0,6. Найти вероятность появления в мишени двух пробоин в результате одновременного выстрела всех трёх стрелков.
3. В цехе 6 моторов. Для каждого мотора вероятность того, что он в данный момент включен, равна 0,8. Найти вероятность того, что в цехе в данный момент включено 4 мотора.

Вариант № 7

Теоретическая часть

1. Какова формулировка классического определения вероятности?
2. Что такое противоположное событие?
3. Что такое несовместные события?
4. Как выражается условная вероятность через безусловную?
5. Каковы условия задачи, определяемой формулой Бейеса?

 

Практическая часть

1. Бросаются 4 игральные кости. Найти вероятность того, что на них выпадет по одинаковому числу очков.
2. Три стрелка стреляют в одну мишень. При этом известно, что вероятность попадания с одного выстрела для первого стрелка равна 0,8, для второго – 0,7, для третьего – 0,6. Найти вероятность появления в мишени одной пробоины в результате одновременного выстрела всех трёх стрелков.
3. Произведено 8 независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А равна 0,1. Найти вероятность того , что событие А появится хотя бы 2 раза.

Вариант № 8

Теоретическая часть

1. Как понимают равенство двух событий? Примеры.
2. Какие события называют противоположными? Примеры.
3. Что такое произведение случайных событий?
4. Как выражается условная вероятность через безусловную?
5. Каковы условия задачи, определяемой формулой полной вероятности?

Практическая часть

1. Из 10 билетов выигрышными являются 2. Определить вероятность того, что среди взятых на удачу 5 билетов хотя бы один выигрышный.
2. Рабочий обслуживает 3 станка, из которых на первом вероятность нарушения нормальной работы в течение часа после проверки составляет 0,1, на втором – 0,15, на третьем – 0,2. Найти вероятность того, что после наладки хотя бы один из станков потребует ремонта.
3. Имеются 100 станков одинаковой мощности, работающих независимо друг от друга в одинаковом режиме, при котором их привод оказывается включенным в течение 0,8 всего рабочего времени. Какова вероятность того, что в произвольно взятый момент времени включенными окажутся от 70 до 86 станков?

Вариант № 9

Теоретическая часть

1. Какое событие называется случайным? Пример
2. В чем заключается «правило суммы»?
3. Что такое множество элементарных событий?
4. Что такое разность событий?
5. Сформулируйте интегральную предельную теорему Муавра-Лапласа

Практическая часть

3. В урне 10 белых и 15 черных шаров. Из урны вынимаются 3 шара. Найти вероятность того, что оба шара будут белыми?
4. Предприятие изготовляет 95% изделий стандартных, причём 86% из них первого сорта. Найти вероятность того, что взятое наудачу изделие этого предприятия окажется изделием первого сорта.
5. Всхожесть семян данного растения равна 0,9. Найти вероятность того, что из 900 посаженных семян число проросших будет заключено между 790 и 830.

Вариант № 10

Теоретическая часть

1. Что является предметом теории вероятностей?
2. Какое событие называется достоверным? Пример
3. Что такое перестановки? Число всех возможных перестановок?
4. Как связаны условные вероятности двух независимых событий?
5. Напишите формулу Бейеса.

Практическая часть

1. При наборе телефонного номера абонент забыл две последние цифры и набрал их на удачу, помня только, что эти цифры нечётные и равные. Найти вероятность того, что номер набран правильно
2. Устройство содержит два независимо работающих элемента. Вероятности отказа элементов соответственно равны 0,05 и 0,08. Найти вероятность отказа устройства, если для этого достаточно, чтобы отказал хотя бы один элемент.
3. Вероятность появления успеха в каждом испытании равна 0,25. Какова вероятность того, что при 300 испытаниях успех наступит ровно 75 раз?

Вариант № 11

Теоретическая часть

1. Что такое «испытание»?
2. Дайте определение произведения событий. Примеры.
3. Какие события образуют полную группу? Примеры
4. Объясните условия независимых испытаний
5. Сформулируйте интегральную предельную теорему Муавра-Лапласа

Практическая часть

1. В лотерее 100 билетов, из которых 20 выигрышных. Участник лотереи покупает 3 билета. Определить вероятность того, что он выиграл хотя бы один билет?
2. Для разрушения моста достаточно попадания одной бомбы. Найти вероятность того, что мост будет разрушен, если на него будут сброшены 4 бомбы с вероятностями попадания соответственно 0,3; 0,4; 0,6; 0,7.
3. В первые классы должно быть принято 200 детей. Определить вероятность того, что среди них окажется 100 девочек, если вероятность рождения мальчика равна 0,515.

Вариант № 12

Теоретическая часть

1. Что такое «событие»?
2. Что такое размещение? Число всех возможных размещений?
3. При каких условиях можно применять классическое определение вероятности?
4. Какова вероятность суммы двух совместных событий?
5. Запишите формулу Бернулли

Практическая часть

1. В партии из 50 изделий 5 бракованных. Из партии выбираются наугад 6 изделий. Определить вероятность того, что среди этих 6 изделий 2 окажутся бракованными.
2. Вероятность того, что каждый из трёх друзей придёт в условленное место, соответственно равна р₁=0,8; р₂=0,4; р₃=0,7. Определить вероятность того, что встреча состоится, если для этого достаточно явиться двум из трёх друзей.
3. Какова вероятность того, что в столбике 100 наугад отобранных монет число монет, расположенных «гербом» вверх, будет от 45 до 55?

Вариант № 13

Теоретическая часть

1. Что такое «случайное событие»?
2. Чему равна вероятность невозможного и достоверного событий?
3. Какова вероятность произведения событий?
4. Каковы условия задачи, определяемой формулой полной вероятности?
5. Сформулируйте локальную предельную теорему Муавра-Лапласа

Практическая часть

1. Из полного набора костей домино на удачу берутся 5 костей. Найти вероятность того, что среди них будет хотя бы одна с шестеркой.
2. Рабочий обслуживает три станка. Вероятность бесперебойной работы на протяжении одного часа после наладки для первого станка равна 0,9, для второго – 0,8 и для третьего – 0,7. Найти вероятность того, что за этот час два станка потребуют вмешательства рабочего.
3. Производство даёт 1% брака. Какова вероятность того, что из взятых на исследование 1100 изделий выбраковано будет не больше 17?

Вариант № 14

Теоретическая часть

1. Какие события называют равновозможными?
2. Что такое сочетания? Число всех возможных сочетаний?
3. В чем заключается «правило произведения»?
4. Что такое условная вероятность?
5. Чему равна вероятность появления хотя бы одного события из независимых в совокупности событий?

Практическая часть

1. В колоде 36 карт четырёх мастей. После извлечения и возвращения одной карты колода перемешивается и снова извлекается одна карта. Определить вероятность того, что обе извлеченные карты одной масти?
2. Рабочий обслуживает 3 станка. Известно, что вероятность бесперебойной работы на протяжении одного часа после наладки равна для первого станка 0,9, для второго – 0,8 и для третьего – 0,7. Найти вероятность того, что за этот час лишь один станок потребует вмешательства рабочего.
3. Монета подбрасывается 8 раз. Какова вероятность того, что 6 раз она упадёт гербом вверх?

Вариант № 15

Теоретическая часть

1. Что такое «вероятность события»?
2. Дайте определение суммы событий. Примеры.
3. Какое событие называется невозможным? Пример
4. Какова вероятность противоположного события?
5. Напишите формулу полной вероятности

Практическая часть

1. В урне 7 белых и 3 чёрных шара. Из урны одновременно вынимают 2 шара. Какое событие более вероятно: А = {шары одного цвета} или В= {шары разных цветов}?
2. Три стрелка стреляют в одну мишень, при этом вероятность попадания с одного выстрела равна соответственно 0,8, 0,7, 0,6. Найти вероятность появления в мишени двух пробоин в результате одновременного выстрела всех трёх стрелков.
3. В цехе 6 моторов. Для каждого мотора вероятность того, что он в данный момент включен, равна 0,8. Найти вероятность того, что в цехе в данный момент включено 4 мотора.

Вариант № 16

Теоретическая часть

1. Какова формулировка классического определения вероятности?
2. Что такое противоположное событие?
3. Что такое несовместные события?
4. Как выражается условная вероятность через безусловную?
5. Каковы условия задачи, определяемой формулой Бейеса?

Практическая часть

1. Бросаются 4 игральные кости. Найти вероятность того, что на них выпадет по одинаковому числу очков.
2. Три стрелка стреляют в одну мишень. При этом известно, что вероятность попадания с одного выстрела для первого стрелка равна 0,8, для второго – 0,7, для третьего – 0,6. Найти вероятность появления в мишени одной пробоины в результате одновременного выстрела всех трёх стрелков.
3. Произведено 8 независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А равна 0,1. Найти вероятность того , что событие А появится хотя бы 2 раза.

Вариант № 17

Теоретическая часть

1. Как понимают равенство двух событий? Примеры.
2. Какие события называют противоположными? Примеры.
3. Что такое произведение случайных событий?
4. Как выражается условная вероятность через безусловную?
5. Каковы условия задачи, определяемой формулой полной вероятности?

Практическая часть

1. Из 10 билетов выигрышными являются 2. Определить вероятность того, что среди взятых на удачу 5 билетов хотя бы один выигрышный.
2. Рабочий обслуживает 3 станка, из которых на первом вероятность нарушения нормальной работы в течение часа после проверки составляет 0,1, на втором – 0,15, на третьем – 0,2. Найти вероятность того, что после наладки хотя бы один из станков потребует ремонта.
3. Имеются 100 станков одинаковой мощности, работающих независимо друг от друга в одинаковом режиме, при котором их привод оказывается включенным в течение 0,8 всего рабочего времени. Какова вероятность того, что в произвольно взятый момент времени включенными окажутся от 70 до 86 станков?

Вариант № 18

Теоретическая часть

1. Какое событие называется случайным? Пример
2. В чем заключается «правило суммы»?
3. Что такое множество элементарных событий?
4. Что такое разность событий?
5. Сформулируйте интегральную предельную теорему Муавра-Лапласа

Практическая часть

1. В урне 10 белых и 15 черных шаров. Из урны вынимаются 3 шара. Найти вероятность того, что оба шара будут белыми?
2. Предприятие изготовляет 95% изделий стандартных, причём 86% из них первого сорта. Найти вероятность того, что взятое наудачу изделие этого предприятия окажется изделием первого сорта.
3. Всхожесть семян данного растения равна 0,9. Найти вероятность того, что из 900 посаженных семян число проросших будет заключено между 790 и 830.

 

 

Вариант № 19

Теоретическая часть

1. Что является предметом теории вероятностей?
2. Какое событие называется достоверным? Пример
3. Что такое перестановки? Число всех возможных перестановок?
4. Как связаны условные вероятности двух независимых событий?
5. Напишите формулу Бейеса.

Практическая часть

1. При наборе телефонного номера абонент забыл две последние цифры и набрал их на удачу, помня только, что эти цифры нечётные и равные. Найти вероятность того, что номер набран правильно
2. Устройство содержит два независимо работающих элемента. Вероятности отказа элементов соответственно равны 0,05 и 0,08. Найти вероятность отказа устройства, если для этого достаточно, чтобы отказал хотя бы один элемент.
3. Вероятность появления успеха в каждом испытании равна 0,25. Какова вероятность того, что при 300 испытаниях успех наступит ровно 75 раз?

Вариант № 20

Теоретическая часть

1. Что такое «испытание»?
2. Дайте определение произведения событий. Примеры.
3. Какие события образуют полную группу? Примеры
4. Объясните условия независимых испытаний
5. Сформулируйте интегральную предельную теорему Муавра-Лапласа

Практическая часть

1. В лотерее 100 билетов, из которых 20 выигрышных. Участник лотереи покупает 3 билета. Определить вероятность того, что он выиграл хотя бы один билет?
2. Для разрушения моста достаточно попадания одной бомбы. Найти вероятность того, что мост будет разрушен, если на него будут сброшены 4 бомбы с вероятностями попадания соответственно 0,3; 0,4; 0,6; 0,7.
3. В первые классы должно быть принято 200 детей. Определить вероятность того, что среди них окажется 100 девочек, если вероятность рождения мальчика равна 0,515.

Вариант № 21

Теоретическая часть

1. Что такое «событие»?
2. Что такое размещение? Число всех возможных размещений?
3. При каких условиях можно применять классическое определение вероятности?
4. Какова вероятность суммы двух совместных событий?
5. Запишите формулу Бернулли

Практическая часть

1. В партии из 50 изделий 5 бракованных. Из партии выбираются наугад 6 изделий. Определить вероятность того, что среди этих 6 изделий 2 окажутся бракованными.
2. Вероятность того, что каждый из трёх друзей придёт в условленное место, соответственно равна р1=0,8; р2=0,4; р3=0,7. Определить вероятность того, что встреча состоится, если для этого достаточно явиться двум из трёх друзей.
3. Какова вероятность того, что в столбике 100 наугад отобранных монет число монет, расположенных «гербом » вверх, будет от 45 до 55?

Вариант № 22

Теоретическая часть

1. Что такое «случайное событие»?
2. Чему равна вероятность невозможного и достоверного событий?
3. Какова вероятность произведения событий?
4. Каковы условия задачи, определяемой формулой полной вероятности?
5. Сформулируйте локальную предельную теорему Муавра-Лапласа

Практическая часть

1. Из полного набора костей домино на удачу берутся 5 костей. Найти вероятность того, что среди них будет хотя бы одна с шестеркой.
2. Рабочий обслуживает три станка. Вероятность бесперебойной работы на протяжении одного часа после наладки для первого станка равна 0,9, для второго – 0,8 и для третьего – 0,7. Найти вероятность того, что за этот час два станка потребуют вмешательства рабочего.
3. Производство даёт 1% брака. Какова вероятность того, что из взятых на исследование 1100 изделий выбраковано будет не больше 17?

Вариант № 23

Теоретическая часть

1. Какие события называют равновозможными?
2. Что такое сочетания? Число всех возможных сочетаний?
3. В чем заключается «правило произведения»?
4. Что такое условная вероятность?
5. Чему равна вероятность появления хотя бы одного события из независимых в совокупности событий?

Практическая часть

1. В колоде 36 карт четырёх мастей. После извлечения и возвращения одной карты колода перемешивается и снова извлекается одна карта. Определить вероятность того, что обе извлеченные карты одной масти?
2. Рабочий обслуживает 3 станка. Известно, что вероятность бесперебойной работы на протяжении одного часа после наладки равна для первого станка 0,9, для второго – 0,8 и для третьего – 0,7. Найти вероятность того, что за этот час лишь один станок потребует вмешательства рабочего.
3. Монета подбрасывается 8 раз. Какова вероятность того, что 6 раз она упадёт гербом вверх?

Вариант № 24

Теоретическая часть

1. Что такое «вероятность события»?
2. Дайте определение суммы событий. Примеры.
3. Какое событие называется невозможным? Пример
4. Какова вероятность противоположного события?
5. Напишите формулу полной вероятности

Практическая часть

1. В урне 7 белых и 3 чёрных шара. Из урны одновременно вынимают 2 шара. Какое событие более вероятно: А = {шары одного цвета} или В= {шары разных цветов}?
2. Три стрелка стреляют в одну мишень, при этом вероятность попадания с одного выстрела равна соответственно 0,8, 0,7, 0,6. Найти вероятность появления в мишени двух пробоин в результате одновременного выстрела всех трёх стрелков.
3. В цехе 6 моторов. Для каждого мотора вероятность того, что он в данный момент включен, равна 0,8. Найти вероятность того, что в цехе в данный момент включено 4 мотора.

Вариант № 25

Теоретическая часть

1. Какова формулировка классического определения вероятности?
2. Что такое противоположное событие?
3. Что такое несовместные события?
4. Как выражается условная вероятность через безусловную?
5. Каковы условия задачи, определяемой формулой Бейеса?

Практическая часть

1. Бросаются 4 игральные кости. Найти вероятность того, что на них выпадет по одинаковому числу очков.
2. Три стрелка стреляют в одну мишень. При этом известно, что вероятность попадания с одного выстрела для первого стрелка равна 0,8, для второго – 0,7, для третьего – 0,6. Найти вероятность появления в мишени одной пробоины в результате одновременного выстрела всех трёх стрелков.
3. Произведено 8 независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А равна 0,1. Найти вероятность того , что событие А появится хотя бы 2 раза.

 

Практическая работа № 6

Тема: «Построение закона распределения вероятностей дискретных случайных величин. Нахождение числовых характеристик»

Решить задачи согласно своего варианта:

Вариант № 1

1. Вероятность попадания в цель при одном выстреле для данного стрелка равна 0,8. Стрелок производит 3 выстрела. Составить закон распределения случайной величины Х — числа попаданий в цель. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины.
2. Дискретная случайная величина Х может принимать только 2 значения: Х₁ и Х₂, причем Х₁<Х₂. Известны вероятность Р₁ возможного значения Х₁, математическое ожидание М(Х) и дисперсия Д(Х). Найти закон распределения этой случайной величины.

Р₁ = 0,5, М(Х) = 3,5, D(X) = 0,25

 

Вариант № 2

1. Вероятность попадания в цель при одном выстреле для данного стрелка равна 0,9. Составить закон распределения случайной величины Х — число попаданий в цель при двух выстрелах. Найти математическое ожидание в дисперсию этой величины.
2. Дискретная случайная величина Х может принимать только 2 значения: Х₁ и Х₂, причем Х₁<Х₂. Известны вероятность Р₁ возможного значения Х₁, математическое ожидание М(Х) и дисперсия Д(Х). Найти закон распределения этой случайной величины.

Р₁ = 0,5, М(Х) = 3, D(X) = 4

Вариант № 3

1. Игральная кость брошена 3 раза. Составить закон распределения случайной величины Х — числа появлений шестёрки. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.
2. Дискретная случайная величина Х может принимать только 2 значения: Х₁ и Х₂, причем Х₁<Х₂. Известны вероятность Р₁ возможного значения Х₁, математическое ожидание М(Х) и дисперсия Д(Х). Найти закон распределения этой случайной величины.

Р₁ = 0,1, М(Х) = 1,9, D(X) = 0,09

Вариант № 4

1. Игральная кость брошена 2 раза. Составить закон распределения случайной величины Х — числа появлений 2. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.
2. Дискретная случайная величина Х может принимать только 2 значения: Х₁ и Х₂, причем Х₁<Х₂. Известны вероятность Р₁ возможного значения Х₁, математическое ожидание М(Х) и дисперсия Д(Х). Найти закон распределения этой случайной величины.

Р₁ = 0,2, М(Х) = 2,6, D(X) = 0,64

Вариант № 5

1. Игральная кость брошена 4 раза. Составить закон распределения случайной величины Х — числа появления тройки. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.
2. Дискретная случайная величина Х может принимать только 2 значения: Х₁ и Х₂, причем Х₁<Х₂. Известны вероятность Р₁ возможного значения Х₁, математическое ожидание М(Х) и дисперсия Д(Х). Найти закон распределения этой случайной величины.

Р₁ = 0,5, М(Х) = 5,5, D(X) = 0,25

Вариант № 6

1. Составить закон распределения вероятностей числа появлений события А в трех не зависимых испытаниях, если вероятность появления события в каждом испытании равна 0,6. Найти макс. ожидание и дисперсию этой случайной величины.
2. Дискретная случайная величина Х может принимать только 2 значения: Х₁ и Х₂, причем Х₁<Х₂. Известны вероятность Р₁ возможного значения Х₁, математическое ожидание М(Х) и дисперсия Д(Х). Найти закон распределения этой случайной величины.

Р₁ = 0,2, М(Х) = 1,8, D(X) = 0,16

Вариант № 7

1. Монета бросается 3 раза. Составить закон распределения случайной величины Х — числа появления герба. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.
2. Дискретная случайная величина Х может принимать только 2 значения: Х₁ и Х₂, причем Х₁<Х₂. Известны вероятность Р₁ возможного значения Х₁, математическое ожидание М(Х) и дисперсия Д(Х). Найти закон распределения этой случайной величины.

Р₁ = 0,2, М(Х) = 2,8, D(X) = 0,16

Вариант № 8

1. Монета бросается 2 раза. Составить закон распределения случайной величины Х-числа появления герба. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.
2. Дискретная случайная величина Х может принимать только 2 значения: Х₁ и Х₂, причем Х₁<Х₂. Известны вероятность Р₁ возможного значения Х₁, математическое ожидание М(Х) и дисперсия Д(Х). Найти закон распределения этой случайной величины.

Р₁ = 0,1, М(Х) = 2,8, D(X) = 0,36

Вариант № 9

1. Монета бросается 4 раза. Составить закон распределения случайной величины Х -числа появления герба. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины
2. Дискретная случайная величина Х может принимать только 2 значения: Х₁ и Х₂, причем Х₁<Х₂. Известны вероятность Р₁ возможного значения Х₁, математическое ожидание М(Х) и дисперсия Д(Х). Найти закон распределения этой случайной величины.

Р₁ = 0,4, М(Х) = 2,2, D(X) = 1,96

Вариант № 10

1. Монета бросается 5 раз. Составить закон распределения случайной величины Х — числа появлений герба. Найти математическое ожидание и дисперсию этой величины.
2. Дискретная случайная величина Х может принимать только 2 значения: Х₁ и Х₂, причем Х₁<Х₂. Известны вероятность Р₁ возможного значения Х₁, математическое ожидание М(Х) и дисперсия Д(Х). Найти закон распределения этой случайной величины.

Р₁ = 0,5, М(Х) = 2,5, D(X) = 2,25

Вариант № 11

1. Монета бросается 6 раз. Составить закон распределения случайной величины Х — числа появлений герба. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.
2. Дискретная случайная величина Х может принимать только 2 значения: Х₁ и Х₂, причем Х₁<Х₂. Известны вероятность Р₁ возможного значения Х₁, математическое ожидание М(Х) и дисперсия Д(Х). Найти закон распределения этой случайной величины.

Р₁ = 0,9, М(Х) = 1,4, D(X) = 1,44

Вариант № 12

1. Производится 4 выстрела по мишени. Вероятность попаданий при каждом выстреле равна 0,8. Составить закон распределения случайной величины Х — числа попаданий в мишень. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.
2. Дискретная случайная величина Х может принимать только 2 значения: Х₁ и Х₂, причем Х₁<Х₂. Известны вероятность Р₁ возможного значения Х₁, математическое ожидание М(Х) и дисперсия Д(Х). Найти закон распределения этой случайной величины.

Р₁ = 0,9, М(Х) = 1,1, D(X) = 0,09

Вариант № 13

1. По мишени ведутся выстрелы до первого попадания или до израсходования всех патронов. Составить закон распределения случайной величины Х — числа израсходованных патронов, если вероятность попадания при отдельном выстреле равна 0,8, а число имеющихся патронов 3. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.
2. Дискретная случайная величина Х может принимать только 2 значения: Х₁ и Х₂, причем Х₁<Х₂. Известны вероятность Р₁ возможного значения Х₁, математическое ожидание М(Х) и дисперсия Д(Х). Найти закон распределения этой случайной величины.

Р₁ = 0,9, М(Х) = 1,2, D(X) = 0,36

Вариант № 14

1. По мишени ведутся выстрелы до первого попадания или до израсходования всех патронов. Составить закон распределения случайной величины Х — числа израсходованных патронов, если вероятность попадания при каждом выстреле 0,6, а число имеющихся патронов 4. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.
2. Дискретная случайная величина Х может принимать только 2 значения: Х₁ и Х₂, причем Х₁<Х₂. Известны вероятность Р₁ возможного значения Х₁, математическое ожидание М(Х) и дисперсия Д(Х). Найти закон распределения этой случайной величины.

Р₁ = 0,9, М(Х) = 1,3, D(X) = 0,81

Вариант № 15

1. По мишени ведутся выстрелы до первого попадания или до израсходования всех патронов. Составить закон распределения случайной величины Х — числа израсходования патронов, если вероятность попадания при каждом выстреле 0,8, а число имеющихся патронов 5. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.
2. Дискретная случайная величина Х может принимать только 2 значения: Х₁ и Х₂, причем Х₁<Х₂. Известны вероятность Р₁ возможного значения Х₁, математическое ожидание М(Х) и дисперсия Д(Х). Найти закон распределения этой случайной величины.

Р₁ = 0,8, М(Х) = 1,2, D(X) = 0,16

Вариант № 16

1. По мишени ведутся выстрелы до первого попадания или до израсходования всех патронов. Составить закон распределения случайной величины Х — числа израсходованных патронов, если вероятность попадания при каждом выстрелы 0,4, а число имеющихся патронов 5. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.
2. Дискретная случайная величина Х может принимать только 2 значения: Х₁ и Х₂, причем Х₁<Х₂. Известны вероятность Р₁ возможного значения Х₁, математическое ожидание М(Х) и дисперсия Д(Х). Найти закон распределения этой случайной величины.

Р₁ = 0,8, М(Х) = 1,4, D(X) = 0,64

Вариант № 17

1. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для данного стрелка равна 0,5. Составить закон распределения случайной величины Х — числа попадания в мишень при 5 выстрелах. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.
2. Дискретная случайная величина Х может принимать только 2 значения: Х₁ и Х₂, причем Х₁<Х₂. Известны вероятность Р₁ возможного значения Х₁, математическое ожидание М(Х) и дисперсия Д(Х). Найти закон распределения этой случайной величины.

Р₁ = 0,8, М(Х) = 1,6, D(X) =1,44

Вариант № 18

1. Составить закон распределения случайной величины Х — числа появлений событий А в 2 независимых испытаниях, если вероятность появления событий в каждом испытании равна 0,3. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.
2. Дискретная случайная величина Х может принимать только 2 значения: Х₁ и Х₂, причем Х₁<Х₂. Известны вероятность Р₁ возможного значения Х₁, математическое ожидание М(Х) и дисперсия Д(Х). Найти закон распределения этой случайной величины.

Р₁ = 0,8, М(Х) = 1,8, D(X) = 2,56

Вариант № 19

1. Составить закон распределения случайной величины Х — числа появлений событий А в трех независимых испытаниях, если вероятность появления события в каждом испытании равна 0,1. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.
2. Дискретная случайная величина Х может принимать только 2 значения: Х₁ и Х₂, причем Х₁<Х₂. Известны вероятность Р₁ возможного значения Х₁, математическое ожидание М(Х) и дисперсия Д(Х). Найти закон распределения этой случайной величины.

Р₁ = 0,8, М(Х) = 2, D(X) = 4

Вариант № 20

1. Составить закон распределения случайной величины Х — числа появлений события А в четырех независимых испытаниях, если вероятность появления событий в каждом испытании равна 0,4. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной
2. Дискретная случайная величина Х может принимать только 2 значения: Х₁ и Х₂, причем Х₁<Х₂. Известны вероятность Р₁ возможного значения Х₁, математическое ожидание М(Х) и дисперсия Д(Х). Найти закон распределения этой случайной величины.

Р₁ = 0,6, М(Х) = 1,4, D(X) = 0,25

Вариант № 21

1. В партии 10% нестандартных деталей. Наудачу отобраны три детали. Составить закон распределения случайной величины Х – числа стандартных деталей отобранных. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.
2. Дискретная случайная величина Х может принимать только 2 значения: Х₁ и Х₂, причем Х₁<Х₂. Известны вероятность Р₁ возможного значения Х₁, математическое ожидание М(Х) и дисперсия Д(Х). Найти закон распределения этой случайной величины.

Р₁ = 0,6, М(Х) = 1,8, D(X) =1,96

Вариант № 22

1. В партии 10% нестандартных деталей. Наудачу отобраны 2 детали. Составить закон распределения случайной величины Х — числа нестандартных деталей среди двух отобранных. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины.
2. Дискретная случайная величина Х может принимать только 2 значения: Х₁ и Х₂, причем Х₁<Х₂. Известны вероятность Р₁ возможного значения Х₁, математическое ожидание М(Х) и дисперсия Д(Х). Найти закон распределения этой случайной величины.

Р₁ = 0,6, М(Х) = 2,2, D(X) = 2,56

Вариант № 23

1. В партии из 8 деталей имеются 6 стандартных. Наудачу отобраны 2 детали. Составить закон распределения случайной величины Х — числа стандартных деталей среди двух отобранных. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.
2. Дискретная случайная величина Х может принимать только 2 значения: Х₁ и Х₂, причем Х₁<Х₂. Известны вероятность Р₁ возможного значения Х₁, математическое ожидание М(Х) и дисперсия Д(Х). Найти закон распределения этой случайной величины.

Р₁ = 0,6, М(Х) = 2,6, D(X) =3,84

Вариант № 24

1. В партии из 8 деталей имеются 6 стандартных. Наудачу отобраны 3 детали. Составить закон распределения случайной величины Х — числа стандартных деталей среди трех отобранных. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.
2. Дискретная случайная величина Х может принимать только 2 значения: Х₁ и Х₂, причем Х₁<Х₂. Известны вероятность Р₁ возможного значения Х₁, математическое ожидание М(Х) и дисперсия Д(Х). Найти закон распределения этой случайной величины.

Р₁ = 0,5, М(Х) = 1,5, D(X) = 0,25

Вариант № 25

1. В партии из 6 деталей имеются 4 стандартных. Наудачу отобраны 2 детали. Составить закон распределения случайной величины Х — числа стандартных деталей среди отобранных. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.
2. Дискретная случайная величина Х может принимать только 2 значения: Х₁ и Х₂, причем Х₁<Х₂. Известны вероятность Р₁ возможного значения Х₁, математическое ожидание М(Х) и дисперсия Д(Х). Найти закон распределения этой случайной величины.

Р₁ = 0,5, М(Х) = 2, D(X) = 1

 

Практическая работа № 7

Тема: «Определение функции и плотности распределения вероятностей случайной величины, построение графиков. Нахождение числовых характеристик»

Решить задачи согласно своего варианта:

Вариант № 1

1. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения. Найти функцию распределения F(X) и начертить ее график

Х	2	3	6
Р	0,4	0,5	0,1

2. Случайная величина Х задана функцией распределения F(X). Найти: а) плотность распределения вероятностей, математическое ожидание и дисперсию случайной величины; б) вероятность того, что в результате испытания случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу

Вариант № 2

1. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения. Найти функцию распределения F(X) и начертить ее график

Х	1	3	5
Р	0,6	0,1	0,3

2. Случайная величина Х задана функцией распределения F(X). Найти: а) плотность распределения вероятностей, математическое ожидание и дисперсию случайной величины; б) вероятность того, что в результате испытания случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу

Вариант № 3

1. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения. Найти функцию распределения F(X) и начертить ее график

Х	1	4	6
Р	0,2	0,4	0,4

2. Случайная величина Х задана функцией распределения F(X). Найти: а) плотность распределения вероятностей, математическое ожидание и дисперсию случайной величины; б) вероятность того, что в результате испытания случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу

 

Вариант № 4

1. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения. Найти функцию распределения F(X) и начертить ее график

Х	2	5	8
Р	0,4	0,5	0,1

2. Случайная величина Х задана функцией распределения F(X). Найти: а) плотность распределения вероятностей, математическое ожидание и дисперсию случайной величины; б) вероятность того, что в результате испытания случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу

Вариант № 5

1. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения. Найти функцию распределения F(X) и начертить ее график

Х	3	7	10
Р	0,1	0,5	0,4

2. Случайная величина Х задана функцией распределения F(X). Найти: а) плотность распределения вероятностей, математическое ожидание и дисперсию случайной величины; б) вероятность того, что в результате испытания случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу

Вариант № 6

1. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения. Найти функцию распределения F(X) и начертить ее график

Х	4	6	7
Р	0,2	0,3	0,5

2. Случайная величина Х задана функцией распределения F(X). Найти: а) плотность распределения вероятностей, математическое ожидание и дисперсию случайной величины; б) вероятность того, что в результате испытания случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу

Вариант № 7

1. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения. Найти функцию распределения F(X) и начертить ее график

Х	3	5	7
Р	0,4	0,5	0,1

2. Случайная величина Х задана функцией распределения F(X). Найти: а) плотность распределения вероятностей, математическое ожидание и дисперсию случайной величины; б) вероятность того, что в результате испытания случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу

Вариант № 8

1. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения. Найти функцию распределения F(X) и начертить ее график

Х	1	4	7
Р	0,3	0,5	0,2

2. Случайная величина Х задана функцией распределения F(X). Найти: а) плотность распределения вероятностей, математическое ожидание и дисперсию случайной величины; б) вероятность того, что в результате испытания случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу

Вариант № 9

1. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения. Найти функцию распределения F(X) и начертить ее график

Х	5	7	9
Р	0,1	0,5	0,4

2. Случайная величина Х задана функцией распределения F(X). Найти: а) плотность распределения вероятностей, математическое ожидание и дисперсию случайной величины; б) вероятность того, что в результате испытания случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу

Вариант № 10

1. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения. Найти функцию распределения F(X) и начертить ее график

Х	4	8	12
Р	0,3	0,5	0,2

2. Случайная величина Х задана функцией распределения F(X). Найти: а) плотность распределения вероятностей, математическое ожидание и дисперсию случайной величины; б) вероятность того, что в результате испытания случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу

Вариант № 11

1. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения. Найти функцию распределения F(X) и начертить ее график

Х	2	3	4
Р	0,7	0,1	0,2

2. Случайная величина Х задана функцией распределения F(X). Найти: а) плотность распределения вероятностей, математическое ожидание и дисперсию случайной величины; б) вероятность того, что в результате испытания случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу

Вариант № 12

1. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения. Найти функцию распределения F(X) и начертить ее график

Х	3	6	9
Р	0,5	0,3	0,2

2. Случайная величина Х задана функцией распределения F(X). Найти: а) плотность распределения вероятностей, математическое ожидание и дисперсию случайной величины; б) вероятность того, что в результате испытания случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу

Вариант № 13

1. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения. Найти функцию распределения F(X) и начертить ее график

Х	1	5	7
Р	0,2	0,2	0,6

2. Случайная величина Х задана функцией распределения F(X). Найти: а) плотность распределения вероятностей, математическое ожидание и дисперсию случайной величины; б) вероятность того, что в результате испытания случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу

Вариант № 14

1. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения. Найти функцию распределения F(X) и начертить ее график

Х	2	5	9
Р	0,2	0,7	0,1

2. Случайная величина Х задана функцией распределения F(X). Найти: а) плотность распределения вероятностей, математическое ожидание и дисперсию случайной величины; б) вероятность того, что в результате испытания случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу

Вариант № 15

1. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения. Найти функцию распределения F(X) и начертить ее график

Х	3	6	8
Р	0,4	0,3	0,3

2. Случайная величина Х задана функцией распределения F(X). Найти: а) плотность распределения вероятностей, математическое ожидание и дисперсию случайной величины; б) вероятность того, что в результате испытания случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу

Вариант № 16

1. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения. Найти функцию распределения F(X) и начертить ее график

Х	2	3	5
Р	0,1	0,7	0,2

2. Случайная величина Х задана функцией распределения F(X). Найти: а) плотность распределения вероятностей, математическое ожидание и дисперсию случайной величины; б) вероятность того, что в результате испытания случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу

Вариант № 17

1. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения. Найти функцию распределения F(X) и начертить ее график

Х	4	8	10
Р	0,1	0,2	0,7

2. Случайная величина Х задана функцией распределения F(X). Найти: а) плотность распределения вероятностей, математическое ожидание и дисперсию случайной величины; б) вероятность того, что в результате испытания случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу

Вариант № 18

1. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения. Найти функцию распределения F(X) и начертить ее график

Х	3	10	12
Р	0,2	0,1	0,7

2. Случайная величина Х задана функцией распределения F(X). Найти: а) плотность распределения вероятностей, математическое ожидание и дисперсию случайной величины; б) вероятность того, что в результате испытания случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу

Вариант № 19

1. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения. Найти функцию распределения F(X) и начертить ее график

Х	5	8	10
Р	0,8	0,1	0,1

2. Случайная величина Х задана функцией распределения F(X). Найти: а) плотность распределения вероятностей, математическое ожидание и дисперсию случайной величины; б) вероятность того, что в результате испытания случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу

Вариант № 20

1. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения. Найти функцию распределения F(X) и начертить ее график

Х	3	4	8
Р	0,6	0,1	0,3

2. Случайная величина Х задана функцией распределения F(X). Найти: а) плотность распределения вероятностей, математическое ожидание и дисперсию случайной величины; б) вероятность того, что в результате испытания случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу

Вариант № 21

1. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения. Найти функцию распределения F(X) и начертить ее график

Х	1	2	3
Р	0,5	0,2	0,3

2. Случайная величина Х задана функцией распределения F(X). Найти: а) плотность распределения вероятностей, математическое ожидание и дисперсию случайной величины; б) вероятность того, что в результате испытания случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу

Вариант № 22

1. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения. Найти функцию распределения F(X) и начертить ее график

Х	8	10	11
Р	0,3	0,3	0,4

2. Случайная величина Х задана функцией распределения F(X). Найти: а) плотность распределения вероятностей, математическое ожидание и дисперсию случайной величины; б) вероятность того, что в результате испытания случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу

Вариант № 23

1. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения. Найти функцию распределения F(X) и начертить ее график

Х	2	3	8
Р	0,1	0,3	0,6

2. Случайная величина Х задана функцией распределения F(X). Найти: а) плотность распределения вероятностей, математическое ожидание и дисперсию случайной величины; б) вероятность того, что в результате испытания случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу

Вариант № 24

1. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения. Найти функцию распределения F(X) и начертить ее график

Х	5	6	8
Р	0,2	0,7	0,1

2. Случайная величина Х задана функцией распределения F(X). Найти: а) плотность распределения вероятностей, математическое ожидание и дисперсию случайной величины; б) вероятность того, что в результате испытания случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу

Вариант № 25

1. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения. Найти функцию распределения F(X) и начертить ее график

Х	3	10	15
Р	0,1	0,1	0,8

2. Случайная величина Х задана функцией распределения F(X). Найти: а) плотность распределения вероятностей, математическое ожидание и дисперсию случайной величины; б) вероятность того, что в результате испытания случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу

 

Практическая работа № 8

Тема: «Нормальное распределение. Вычисление вероятностей заданного отклонения»

Решить задачи согласно своего варианта:

Вариант № 1

1. Известны математическое ожидание а и среднее квадратическое отклонение σ нормально распределенной случайной величины Х. Найти:

а) вероятность того, что в результате испытания случайная величина попадет в интервал

б) вероятность того, что абсолютная величина отклонения случайной величины от своего математического ожидания меньше положительного числа δ.

а = 13, σ = 7, a = 8, β = 11, δ = 2

2. Результаты измерения расстояния между двумя населенными пунктами подчинены нормальному закону с параметрами а = 16км, σ = 100м. Найти вероятность того, что расстояние между этими пунктами не меньше 15,8км

Вариант № 2

1. Известны математическое ожидание а и среднее квадратическое отклонение σ нормально распределенной случайной величины Х. Найти:

а) вероятность того, что в результате испытания случайная величина попадет в интервал

б) вероятность того, что абсолютная величина отклонения случайной величины от своего математического ожидания меньше положительного числа δ.

а = 12, σ = 3, a = 7, β = 13, δ = 5

2. Результаты измерения расстояния между двумя населенными пунктами подчинены нормальному закону с параметрами а = 16км, σ = 100м. Найти вероятность того, что расстояние между этими пунктами не более 16,25км

Вариант № 3

1. Известны математическое ожидание а и среднее квадратическое отклонение σ нормально распределенной случайной величины Х. Найти:

а) вероятность того, что в результате испытания случайная величина попадет в интервал

б) вероятность того, что абсолютная величина отклонения случайной величины от своего математического ожидания меньше положительного числа δ.

а = 9, σ = 5, a = 3, β = 10, δ = 6

2. Рост взрослого мужчины является случайной величиной, распределенной по нормальному закону. Пусть ее математическое ожидание равно 170см, а дисперсия – 36. Вычислить вероятность того, что хотя бы один из наудачу выбранных четырех мужчин будет иметь рост от 168см до 172см

 

Вариант № 4

1. Известны математическое ожидание а и среднее квадратическое отклонение σ нормально распределенной случайной величины Х. Найти:

а) вероятность того, что в результате испытания случайная величина попадет в интервал

б) вероятность того, что абсолютная величина отклонения случайной величины от своего математического ожидания меньше положительного числа δ.

а = 8, σ = 9, a = 10, β = 16, δ = 10

2. Рост взрослой женщины является случайной величиной, распределенной по нормальному закону с параметрами а = 164см, σ = 5,5см. Вычислить вероятность того, что одна из наудачу выбранных трех женщин имеет рост от 153см до 175см

Вариант № 5

1. Известны математическое ожидание а и среднее квадратическое отклонение σ нормально распределенной случайной величины Х. Найти:

а) вероятность того, что в результате испытания случайная величина попадет в интервал

б) вероятность того, что абсолютная величина отклонения случайной величины от своего математического ожидания меньше положительного числа δ.

а = 14, σ = 8, a = 4, β = 18, δ = 8

2. Диаметр детали, изготовленной заводом, является случайной величиной, распределенной по нормальному закону. Дисперсия ее равна 0,0001, а математическое ожидание – 2,5см. Найти границы, в которых с вероятностью 0,9973 заключен диаметр наудачу взятой детали.

Вариант № 6

1. Известны математическое ожидание а и среднее квадратическое отклонение σ нормально распределенной случайной величины Х. Найти:

а) вероятность того, что в результате испытания случайная величина попадет в интервал

б) вероятность того, что абсолютная величина отклонения случайной величины от своего математического ожидания меньше положительного числа δ.

а = 3, σ = 10, a = 5, β = 12, δ = 16

2. Производится измерение диаметра вала без систематических ошибок, случайные ошибки измерения Х подчинены нормальному закону со средним квадратическим отклонением σ = 5мм. Найти вероятность того, что измерение будет произведено с ошибкой, не превосходящей по абсолютной величине 7мм

Вариант № 7

1. Известны математическое ожидание а и среднее квадратическое отклонение σ нормально распределенной случайной величины Х. Найти:

а) вероятность того, что в результате испытания случайная величина попадет в интервал

б) вероятность того, что абсолютная величина отклонения случайной величины от своего математического ожидания меньше положительного числа δ.

а = 7, σ = 10, a = 14, β = 19, δ = 12

2. Производится взвешивание некоторого вещества без систематических ошибок. Случайные ошибки подчинены нормальному закону со средним квадратическим отклонением σ = 10г. Найти вероятность того, что взвешивание будет произведено с ошибкой, не превосходящей по абсолютной величине 5г.

Вариант № 8

1. Известны математическое ожидание а и среднее квадратическое отклонение σ нормально распределенной случайной величины Х. Найти:

а) вероятность того, что в результате испытания случайная величина попадет в интервал

б) вероятность того, что абсолютная величина отклонения случайной величины от своего математического ожидания меньше положительного числа δ.

а = 5, σ = 6, a = 12, β = 16, δ = 12

2. Автомат штампует детали. Деталь считается годной, если отклонение Х ее длины от проектной не превышает 0,9мм. Считая, что случайная величина Х распределена нормально со средним квадратическим отклонением σ = 0,5мм, найти сколько в среднем будет годных деталей среди 100 изготовленных

Вариант № 9

1. Известны математическое ожидание а и среднее квадратическое отклонение σ нормально распределенной случайной величины Х. Найти:

а) вероятность того, что в результате испытания случайная величина попадет в интервал

б) вероятность того, что абсолютная величина отклонения случайной величины от своего математического ожидания меньше положительного числа δ.

а = 4, σ = 11, a = 16, β = 23, δ = 24

2. Деталь, изготовленная автоматом, считается годной, если отклонение ее контролируемого размера от проектного не превышает 12мм. Случайные отклонения размера от проектного подчинены нормальному закону со средним квадратическим отклонением σ =8мм. Какова вероятность изготовления годной детали автоматом?

Вариант № 10

1. Известны математическое ожидание а и среднее квадратическое отклонение σ нормально распределенной случайной величины Х. Найти:

а) вероятность того, что в результате испытания случайная величина попадет в интервал

б) вероятность того, что абсолютная величина отклонения случайной величины от своего математического ожидания меньше положительного числа δ.

а = 6, σ = 13, a = 15, β = 26, δ = 8

2. Случайная величина Х распределена нормально с математическим ожиданием а=20 и средним квадратическим отклонением σ = 5. Найти интервал, симметричный относительно математического ожидания, в который с вероятностью 0,9544 попадет величина Х в результате испытания.

 

Вариант № 11

1. Известны математическое ожидание а и среднее квадратическое отклонение σ нормально распределенной случайной величины Х. Найти:

а) вероятность того, что в результате испытания случайная величина попадет в интервал

б) вероятность того, что абсолютная величина отклонения случайной величины от своего математического ожидания меньше положительного числа δ.

а = 10, σ = 4, a = 2, β = 13, δ = 6

2. Случайная величина Х распределена нормально со средним квадратическим отклонением σ =10 мм. Найти длину интервала, симметричного относительно математического ожидания, в которой с вероятностью 0,6826 попадёт Х в результате испытания.

Вариант № 12

1. Известны математическое ожидание а и среднее квадратическое отклонение σ нормально распределенной случайной величины Х. Найти:

а) вероятность того, что в результате испытания случайная величина попадет в интервал

б) вероятность того, что абсолютная величина отклонения случайной величины от своего математического ожидания меньше положительного числа δ.

а = 9, σ = 5, a = 5, β = 14, δ = 6

2. Станок-автомат изготовляет шарики, причём контролируется их диаметр Х. Считая, что Х – нормально распределённая случайная величина с математическим ожиданием a=6 мм и средним квадратическим отклонением σ =0,1 мм, найти интервал, симметричный относительно математического ожидания, в котором с вероятностью 0,9973 будут заключены диаметры изготовленных шариков.

Вариант № 13

1. Известны математическое ожидание а и среднее квадратическое отклонение σ нормально распределенной случайной величины Х. Найти:

а) вероятность того, что в результате испытания случайная величина попадет в интервал

б) вероятность того, что абсолютная величина отклонения случайной величины от своего математического ожидания меньше положительного числа δ.

а = 8, σ = 2, a = 4, β = 9, δ = 3

2. Размер диаметра детали, выпускаемой цехом, распределяется по нормальному закону с параметрами а=5 мм, σ ²=0,81. Найти вероятность того, что диаметр наудачу взятой детали отличается от математического ожидания не более, чем на 2см.

Вариант № 14

1. Известны математическое ожидание а и среднее квадратическое отклонение σ нормально распределенной случайной величины Х. Найти:

а) вероятность того, что в результате испытания случайная величина попадет в интервал

б) вероятность того, что абсолютная величина отклонения случайной величины от своего математического ожидания меньше положительного числа δ.

а = 7, σ = 2, a = 3, β = 10, δ = 1

2. Результаты измерения расстояния между двумя населёнными пунктами подчинены нормальному закону с параметрами а=200 км, σ =500 м. Найти вероятность того, что расстояние между этими пунктами не меньше 199км.

Вариант № 15

1. Известны математическое ожидание а и среднее квадратическое отклонение σ нормально распределенной случайной величины Х. Найти:

а) вероятность того, что в результате испытания случайная величина попадет в интервал

б) вероятность того, что абсолютная величина отклонения случайной величины от своего математического ожидания меньше положительного числа δ.

а = 6, σ = 3, a = 2, β = 11, δ = 5

2. Результаты измерения расстояния между двумя населёнными пунктами подчинены нормальному закону с параметрами а=100 км, σ =200 м. Найти вероятность того, что расстояние между этими пунктами не более 100,4км.

Вариант № 16

1. Известны математическое ожидание а и среднее квадратическое отклонение σ нормально распределенной случайной величины Х. Найти:

а) вероятность того, что в результате испытания случайная величина попадет в интервал

б) вероятность того, что абсолютная величина отклонения случайной величины от своего математического ожидания меньше положительного числа δ.

а = 5, σ = 4, a = 2, β = 12, δ = 3

2. Рост взрослого мужчины является случайной величиной, распределённой по нормальному закону с параметрами а=174 см, σ =6 см. Вычислить вероятность того, что хотя бы один из наудачу выбранных мужчин будет иметь рост от 168 до 180см.

 

Вариант № 17

1. Известны математическое ожидание а и среднее квадратическое отклонение σ нормально распределенной случайной величины Х. Найти:

а) вероятность того, что в результате испытания случайная величина попадет в интервал

б) вероятность того, что абсолютная величина отклонения случайной величины от своего математического ожидания меньше положительного числа δ.

а = 4, σ = 5, a = 2, β = 11, δ = 7

2. Рост взрослого мужчины является случайной величиной, распределённой по нормальному закону. Пусть её математическое ожидание равно 174см, а дисперсия – 64. Вычислить вероятность того, что один из двух наудачу выбранных мужчин будет иметь рост от 170 см до 178 см.

Вариант № 18

1. Известны математическое ожидание а и среднее квадратическое отклонение σ нормально распределенной случайной величины Х. Найти:

а) вероятность того, что в результате испытания случайная величина попадет в интервал

б) вероятность того, что абсолютная величина отклонения случайной величины от своего математического ожидания меньше положительного числа δ.

а = 3, σ = 2, a = 3, β = 6, δ = 3

2. Длина некоторой детали, изготовленной заводом, является случайной величиной, распределённой по нормальному закону. Математическое ожидание её равно 20 см, а дисперсия – 0,01. Найти интервал, в котором с вероятностью 0,9973 заключена длина наудачу взятой детали.

Вариант № 19

1. Известны математическое ожидание а и среднее квадратическое отклонение σ нормально распределенной случайной величины Х. Найти:

а) вероятность того, что в результате испытания случайная величина попадет в интервал

б) вероятность того, что абсолютная величина отклонения случайной величины от своего математического ожидания меньше положительного числа δ.

а = 2, σ = 5, a = 4, β = 9, δ = 9

2. Производится взвешивание некоторого вещества без систематических ошибок. Случайные ошибки взвешивания подчинены нормальному закону со средним квадратическим отклонением σ =50 мг. Найти вероятность того, что взвешивание будет произведено с ошибкой, не превосходящих по абсолютной величине 10 мг.

Вариант № 20

1. Известны математическое ожидание а и среднее квадратическое отклонение σ нормально распределенной случайной величины Х. Найти:

а) вероятность того, что в результате испытания случайная величина попадет в интервал

б) вероятность того, что абсолютная величина отклонения случайной величины от своего математического ожидания меньше положительного числа δ.

а = 2, σ = 4, a = 6, β = 10, δ = 5

2. Вес карпа, вылавливаемого из колхозного пруда, подчинён нормальному закону с параметрами а=1200г и σ =50г. Найти вероятность того, что вес первого карпа, пойманного на удочку в этом пруду, не будет превышать 1250г.

Вариант № 21

1. Известны математическое ожидание а и среднее квадратическое отклонение σ нормально распределенной случайной величины Х. Найти:

а) вероятность того, что в результате испытания случайная величина попадет в интервал

б) вероятность того, что абсолютная величина отклонения случайной величины от своего математического ожидания меньше положительного числа δ.

а = 15, σ = 2, a = 12, β = 19, δ = 3

2. Вес клубней картофеля, подготовленного для посадки, подчинён нормальному закону с параметрами а=60г, σ =5г. Найти вероятность того, что вес наудачу взятого клубня будет не меньше 55г.

Вариант № 22

1. Известны математическое ожидание а и среднее квадратическое отклонение σ нормально распределенной случайной величины Х. Найти:

а) вероятность того, что в результате испытания случайная величина попадет в интервал

б) вероятность того, что абсолютная величина отклонения случайной величины от своего математического ожидания меньше положительного числа δ.

а = 14, σ = 4, a = 10, β = 20, δ = 8

2. Случайная величина Х распределена нормально с параметрами а=45 и σ =2. Найти

интервал, симметричный относительно математического ожидания, который с вероятностью 0,4844 попадёт Х в результате испытания.

Вариант № 23

1. Известны математическое ожидание а и среднее квадратическое отклонение σ нормально распределенной случайной величины Х. Найти:

а) вероятность того, что в результате испытания случайная величина попадет в интервал

б) вероятность того, что абсолютная величина отклонения случайной величины от своего математического ожидания меньше положительного числа δ.

а = 13, σ = 5, a = 11, β = 21, δ = 8

2. Случайная величина Х распределена нормально с математическим ожиданием а=24. Вероятность попадания Х в интервал ]24; 30[ равна 0,3. Чему равна вероятность попадания Х в интервал ]18; 30[ ?

Вариант № 24

1. Известны математическое ожидание а и среднее квадратическое отклонение σ нормально распределенной случайной величины Х. Найти:

а) вероятность того, что в результате испытания случайная величина попадет в интервал

б) вероятность того, что абсолютная величина отклонения случайной величины от своего математического ожидания меньше положительного числа δ.

а = 12, σ = 5, a = 12, β = 22, δ = 12

2. Стрельба ведётся из орудия вдоль некоторой прямой. Средняя дальность полёта снаряда равна 1200м. Предполагая, что дальность полёта Х распределена по нормальному закону со средним квадратическим отклонением 40м, найти, какой процент выпускаемых снарядов даст перелёт от 60 до 80м.

Вариант № 25

1. Известны математическое ожидание а и среднее квадратическое отклонение σ нормально распределенной случайной величины Х. Найти:

а) вероятность того, что в результате испытания случайная величина попадет в интервал

б) вероятность того, что абсолютная величина отклонения случайной величины от своего математического ожидания меньше положительного числа δ.

а = 11, σ = 8, a = 13, β = 23, δ = 6

2. На станке изготовляется некоторая деталь. Ее длина Х представляет собой случайную величину, распределенную по нормальному закону со средним значением 20см и средним квадратическим отклонением 0,2см. Какой процент деталей, изготовленных на этом станке, будет иметь длину, отличающуюся от средней не более чем на 0,3 см?

 

Контрольная работа

 

Вариант № 1

1. Имеются две урны с шарами. В первой урне 34 белых и 6 черных, во второй 3 белых и 2 черных. Из первой урны наудачу извлекается один шар и перекладывается во вторую. Затем из второй урны извлекается шар. Найти вероятность того, что этот шар белый.
2. Пусть в условии предыдущей задачи из второй урны извлечен белый шар. Какова вероятность того, что из первой урны во вторую был переложен белый шар?
3. Распределение вероятностей непрерывной случайной величины задано функцией распределения

а = 3 b = 5,5

Требуется: а) найти значение с; б) плотность распределения вероятностей f(x); в) вычислить М(х); D(x); s(x)

Вариант № 2

1. На сборку поступают детали с трёх автоматов. Первый даёт 25%, второй – 30% и третий – 30% и третий – 45% деталей данного типа, поступающих на сборку. Первый автомат допускает 0,1% нестандартных деталей, второй – 0,2%, третий – 0,3%. Найти вероятность поступления на сборку нестандартной детали.
2. Имеются два набора деталей. Вероятность того, что деталь первого набора бракована, равна 0,01%, а второго – 0,02. Наудачу взятая деталь оказалась качественной. Найти вероятность того, что взятая наудачу деталь из первого набора качественная.
3. Распределение вероятностей непрерывной случайной величины задано функцией распределения

а = 1 b = 6

Требуется: а) найти значение с; б) плотность распределения вероятностей f(x); в) вычислить М(х); D(x); s(x)

Вариант № 3

1. Для сигнализации о том, что режим работы автоматической линии отклоняется от нормального, используется индикатор. Он принадлежит с вероятностями 0,2, 0,3 и 0,5 к одному из трёх типов, для которых вероятность срабатывания при нарушении нормальной работы равны соответственно 0,9, 0,7 и 0,6. Найти вероятность того, что наудачу взятый индикатор сработает при нарушении нормальной работы линии.
2. Пусть в условиях предыдущей задачи от индикатора получим сигнал. Найти вероятность того, что индикатор принадлежит к первому типу.
3. Распределение вероятностей непрерывной случайной величины задано функцией распределения

а = 2,5 b = 5

Требуется: а) найти значение с; б) плотность распределения вероятностей f(x); в) вычислить М(х); D(x); s(x)

Вариант № 4

1. Имеются три урны с шарами. В первой урне 4 белых и 3 черных, во второй 5 белых и 2 черных, в третьей 2 белых и 5 черных. Некто выбирает наугад одну из урн и вынимает из нее шар. Найти вероятность того, что этот шар окажется белым.
2. Возле бензоколонки, стоящей на шоссе, проезжает в среднем 80% грузовых и 20% легковых автомашин. Вероятность того, что будет заправляться грузовая машина, равна 0,05, для легковой эта вероятность равна 0,1. Найти вероятность того, что выбранная наудачу машина будет заправляться.
3. Распределение вероятностей непрерывной случайной величины задано функцией распределения

а = 3 b = 7

Требуется: а) найти значение с; б) плотность распределения вероятностей f(x); в) вычислить М(х); D(x); s(x)

Вариант № 5

1. В двух урнах находятся белые и черные шары. В первой 3 белых и 2 черных, во второй 2 белых и 2 черных. Из первой урны наудачу вынимают один шар и перекладывают во вторую, а затем из второй урны наудачу извлекают один шар. Найти вероятность того, что этот шар будет белым.
2. В первом ящике содержатся 12 ламп, из них одна нестандартная; во втором 10 ламп, из них также одна нестандартная. Из первого ящика наудачу взята лампа и переложена во второй. Найти вероятность того, что наудачу извлеченная из второго ящика лампа будет нестандартной.
3. Распределение вероятностей непрерывной случайной величины задано функцией распределения

а = 4 b = 6

Требуется: а) найти значение с; б) плотность распределения вероятностей f(x); в) вычислить М(х); D(x); s(x)

Вариант № 6

1. В ящике имеются 5 деталей, среди которых могут быть и бракованные. Вынутая наугад оказалось не бракованной. Найти вероятность того, что 3 детали в ящике не бракованные, а 2 бракованные, если предположить, что до опыта все гипотезы равновозможные.
2. Детали для сборки изготавливаются на двух станках, из которых первый производит деталей в 4 раза больше второго. При этом брак составляет в выпуске первого станка 0,2, а в выпуске второго – 0,01. Взятая наугад деталь оказалась годной для сборки. Найти вероятность того, что она изготовлена на первом станке.
3. Распределение вероятностей непрерывной случайной величины задано функцией распределения

а = 2 b = 7

Требуется: а) найти значение с; б) плотность распределения вероятностей f(x); в) вычислить М(х); D(x); s(x)

Вариант № 7

1. На сборку поступают детали с трех автоматов. Первый дает 20%, второй 30% и третий 50% деталей данного типа, поступающих на сборку. Первый автомат допускает 0,2% брака деталей, второй – 0,3%, третий – 0,5%. Найти вероятность того, что взятая наудачу деталь стандартна.
2. Имеются три одинаковых по виду ящика. В первом ящике 20 белых шаров, во втором – 10 белых и 10 черных, в третьем – 20 черных шаров. Из выбранного наудачу ящика вынули белый шар. Вычислить вероятность того, что шар вынут из первого ящика.
3. Распределение вероятностей непрерывной случайной величины задано функцией распределения

а = 6,5 b = 9

Требуется: а) найти значение с; б) плотность распределения вероятностей f(x); в) вычислить М(х); D(x); s(x)

Вариант № 8

1. В ящике имеются 4 детали, среди которых могут быть и бракованные. Вынутая наугад деталь оказалась не бракованной. Определить вероятность того, что все детали в ящике не бракованные. (Предполагается, что до опыта все гипотезы равновозможны).
2. Детали, изготовленные цехом завода, попадают для проверки их на стандартность к одному из двух контролеров. Вероятность того, что деталь попадет к первому контролеру, равна 0,6, а ко второму – 0,4. Вероятность того, что годная деталь будет признана стандартной первым контролером, равна 0,94, а вторым – 0,98. Найти вероятность того, что годная деталь будет признана стандартной.
3. Распределение вероятностей непрерывной случайной величины задано функцией распределения

а = 4 b = 8

Требуется: а) найти значение с; б) плотность распределения вероятностей f(x); в) вычислить М(х); D(x); s(x)

Вариант № 9

1. В телевизионном ателье имеется 4 кинескопа разных типов. Вероятность того, что кинескоп выдержит гарантийный срок службы, соответственно равна 0,8; 0,85; 0,9; 0,95. Найти вероятность того, что взятый наудачу кинескоп выдержит гарантийный срок.
2. Пусть в условиях предыдущей задачи выбранный наудачу кинескоп выдержал гарантийный срок службы. Найти вероятность того, что это был кинескоп 1-го типа.
3. Распределение вероятностей непрерывной случайной величины задано функцией распределения

а = 2 b = 4

Требуется: а) найти значение с; б) плотность распределения вероятностей f(x); в) вычислить М(х); D(x); s(x)

Вариант № 10

1. Для участия в студенческих отборных соревнованиях выделено из первой группы курса 4, из второй 6, из третьей 5 студентов. Вероятность того, что студенты первой, второй и третьей групп попадут в сборную института, соответственно равна 0,9; 0,7; и 0,6. Найти вероятность того, что студент, выбранный на удачу, в итоге соревнований попадет в сборную.
2. Пусть в условиях предыдущей задачи наудачу выбранный студент в итоге соревнований попал в сборную. Найти вероятность того, что это был студент первой группы.
3. Распределение вероятностей непрерывной случайной величины задано функцией распределения

а = 5 b = 9

Требуется: а) найти значение с; б) плотность распределения вероятностей f(x); в) вычислить М(х); D(x); s(x)

Вариант № 11

1. В группе спортсменов 20 лыжников, 6 велосипедистов, 4 бегуна. Вероятность выполнить квалификационную норму для лыжника равна 0,9, для велосипедистов – 0,8 и для бегуна – 0,6. найти вероятность того, что спортсмен, выбранный наудачу, выполнит квалификационную норму.
2. Пусть в условиях предыдущей задачи спортсмен выполнил квалификационную норму. Найти вероятность того, что это был велосипедист.
3. Распределение вероятностей непрерывной случайной величины задано функцией распределения

а = 0 b = 2

Требуется: а) найти значение с; б) плотность распределения вероятностей f(x); в) вычислить М(х); D(x); s(x)

Вариант № 12

1. В ящик, содержащий две детали, брошена стандартная деталь, а затем наудачу извлечена одна деталь. Найти вероятность того, что извлечена стандартная деталь, если равновероятны все возможные предположения о числе стандартных деталей, первоначально находящихся в ящике.
2. Пусть в условиях предыдущей задачи извлечена стандартная деталь. Найти вероятность того, что первоначально в ящике была одна стандартная и одна нестандартная деталь.
3. Распределение вероятностей непрерывной случайной величины задано функцией распределения

а = 2 b = 7

Требуется: а) найти значение с; б) плотность распределения вероятностей f(x); в) вычислить М(х); D(x); s(x)

Вариант № 13

1. В цехе три типа автоматических станков производят одни и те же детали. Станки первого типа производят 0,94 деталей отличного качества, второго – 0,9 и третьего – 0,85. Все произведенные в цехе за смену детали в не рассортированном виде сложены на складе. Определить вероятность того, что взятая наудачу деталь окажется отличного качества, если станков первого типа 5 штук, второго – 3 штуки, третьего – 2 штуки и производительность всех одинакова.
2. Пусть в условиях предыдущей задачи взятая наудачу деталь оказалась отличного качества. Найти вероятность того, что она была произведена на станке первого типа.
3. Распределение вероятностей непрерывной случайной величины задано функцией распределения

а = 1 b = 5

Требуется: а) найти значение с; б) плотность распределения вероятностей f(x); в) вычислить М(х); D(x); s(x)

 

Вариант № 14

1. Имеются два набора деталей. Вероятность того, что деталь первого набора стандартна, равна 0,8, а второго – 0,9. найти вероятность того, что взятая наудачу деталь из наудачу взятого набора нестандартна.
2. Пусть в условиях предыдущей задачи взятая наудачу деталь из наудачу взятого набора оказалась нестандартной. Какова вероятность того, что она принадлежала первому набору?
3. Распределение вероятностей непрерывной случайной величины задано функцией распределения

а = 2 b = 5

Требуется: а) найти значение с; б) плотность распределения вероятностей f(x); в) вычислить М(х); D(x); s(x)

Вариант № 15

1. В первой коробке 20 деталей, из них 18 стандартных, во второй коробке 10 деталей, из них 7 стандартных. Из второй коробки наудачу взята деталь и переложена в первую. Найти вероятность того, что деталь, наудачу извлеченная из первой коробки, стандартна.
2. Пусть в условиях предыдущей задачи деталь, извлеченная из первой коробки, оказалась стандартной. Найти вероятность того, что из второй коробки переложена в первую стандартная деталь.
3. Распределение вероятностей непрерывной случайной величины задано функцией распределения

а = 1 b = 3

Требуется: а) найти значение с; б) плотность распределения вероятностей f(x); в) вычислить М(х); D(x); s(x)

Вариант № 16

1. Радиолампа может принадлежать к одной из двух партий с вероятностями р₁=0,6 и р₂=0,4. Вероятности того, что лампа проработает заданное число часов, равны для этих партий соответственно 0,7 и 0,8. Определить вероятность того, что лампа проработает заданное число часов.
2. Пусть в условиях предыдущей задачи лампа проработает заданное число часов. Какова вероятность того, что она принадлежит к первой партии?
3. Распределение вероятностей непрерывной случайной величины задано функцией распределения

а = 3 b = 5

Требуется: а) найти значение с; б) плотность распределения вероятностей f(x); в) вычислить М(х); D(x); s(x)

Вариант № 17

1. Некоторое изделие может поступить для обработки в случайном порядке на один из трёх станков с вероятностями соответственно равными Р1=0,2; Р2=0,3; Р3=0,5. При обработке на первом станке вероятность брака равна 0,02, на втором – 0,3, на третьем — 0,05. Найти вероятность того, что поступившие в цех изделие после обработки окажется удовлетворяющим техническим условиям.
2. Пусть в условиях предыдущей задачи, поступившее в цех изделие после обработки оказалось удовлетворяющим техническим условиям. Какова вероятность того, что изделие обрабатывалось на третьем станке?
3. Распределение вероятностей непрерывной случайной величины задано функцией распределения

а = 1 b = 4

Требуется: а) найти значение с; б) плотность распределения вероятностей f(x); в) вычислить М(х); D(x); s(x)

Вариант № 18

1. На двух автоматических станках изготовляются одинаковые детали. Известно, что вероятность изготовления детали высшего качества на первом станке равна 0,92, а на втором – 0,8. Изготовленные на обоих станках не рассортированные детали находятся на складе. Среди них деталей, изготовленных на первом станке, в три раза больше, чем на втором. Найти вероятность того, что наудачу взятая деталь будет высшего качества.
2. Пусть в условиях предыдущей задачи наудачу взятая деталь окажется высшего качества. Найти вероятность того, что она изготовлена на втором станке.
3. Распределение вероятностей непрерывной случайной величины задано функцией распределения

а = 2 b = 7

Требуется: а) найти значение с; б) плотность распределения вероятностей f(x); в) вычислить М(х); D(x); s(x)

Вариант № 19

1. Имеются две урны с шарами. В первой урне 34 белых и 6 черных, во второй 3 белых и 2 черных. Из первой урны наудачу извлекается один шар и перекладывается во вторую. Затем из второй урны извлекается шар. Найти вероятность того, что этот шар белый.
2. Пусть в условии предыдущей задачи из второй урны извлечен белый шар. Какова вероятность того, что из первой урны во вторую был переложен белый шар?
3. Распределение вероятностей непрерывной случайной величины задано функцией распределения

а = 3 b = 7

Требуется: а) найти значение с; б) плотность распределения вероятностей f(x); в) вычислить М(х); D(x); s(x)

Вариант № 20

1. На сборку поступают детали с трёх автоматов. Первый даёт 25%, второй – 30% и третий – 30% и третий – 45% деталей данного типа, поступающих на сборку. Первый автомат допускает 0,1% нестандартных деталей, второй – 0,2%, третий – 0,3%. Найти вероятность поступления на сборку нестандартной детали.
2. Имеются два набора деталей. Вероятность того, что деталь первого набора бракована, равна 0,01%, а второго – 0,02. Наудачу взятая деталь оказалась качественной. Найти вероятность того, что взятая наудачу деталь из первого набора качественная.
3. Распределение вероятностей непрерывной случайной величины задано функцией распределения

а = 4 b = 8

Требуется: а) найти значение с; б) плотность распределения вероятностей f(x); в) вычислить М(х); D(x); s(x)

Вариант № 21

1. Для сигнализации о том, что режим работы автоматической линии отклоняется от нормального, используется индикатор. Он принадлежит с вероятностями 0,2, 0,3 и 0,5 к одному из трёх типов, для которых вероятность срабатывания при нарушении нормальной работы равны соответственно 0,9, 0,7 и 0,6. Найти вероятность того, что наудачу взятый индикатор сработает при нарушении нормальной работы линии.
2. Пусть в условиях предыдущей задачи от индикатора получим сигнал. Найти вероятность того, что индикатор принадлежит к первому типу.
3. Распределение вероятностей непрерывной случайной величины задано функцией распределения

а = 3 b = 6

Требуется: а) найти значение с; б) плотность распределения вероятностей f(x); в) вычислить М(х); D(x); s(x)

Вариант № 22

1. Имеются три урны с шарами. В первой урне 4 белых и 3 черных, во второй 5 белых и 2 черных, в третьей 2 белых и 5 черных. Некто выбирает наугад одну из урн и вынимает из нее шар. Найти вероятность того, что этот шар окажется белым.
2. Возле бензоколонки, стоящей на шоссе, проезжает в среднем 80% грузовых и 20% легковых автомашин. Вероятность того, что будет заправляться грузовая машина, равна 0,05, для легковой эта вероятность равна 0,1. Найти вероятность того, что выбранная наудачу машина будет заправляться.
3. Распределение вероятностей непрерывной случайной величины задано функцией распределения

а = 2,5 b = 8

Требуется: а) найти значение с; б) плотность распределения вероятностей f(x); в) вычислить М(х); D(x); s(x)

Вариант № 23

1. В двух урнах находятся белые и черные шары. В первой 3 белых и 2 черных, во второй 2 белых и 2 черных. Из первой урны наудачу вынимают один шар и перекладывают во вторую, а затем из второй урны наудачу извлекают один шар. Найти вероятность того, что этот шар будет белым.
2. В первом ящике содержатся 12 ламп, из них одна нестандартная; во втором 10 ламп, из них также одна нестандартная. Из первого ящика наудачу взята лампа и переложена во второй. Найти вероятность того, что наудачу извлеченная из второго ящика лампа будет нестандартной.
3. Распределение вероятностей непрерывной случайной величины задано функцией распределения

а = 1,5 b = 4

Требуется: а) найти значение с; б) плотность распределения вероятностей f(x); в) вычислить М(х); D(x); s(x)

Вариант № 24

1. В ящике имеются 5 деталей, среди которых могут быть и бракованные. Вынутая наугад оказалось не бракованной. Найти вероятность того, что 3 детали в ящике не бракованные, а 2 бракованные, если предположить, что до опыта все гипотезы равновозможные.
2. Детали для сборки изготавливаются на двух станках, из которых первый производит деталей в 4 раза больше второго. При этом брак составляет в выпуске первого станка 0,2, а в выпуске второго – 0,01. Взятая наугад деталь оказалась годной для сборки. Найти вероятность того, что она изготовлена на первом станке.
3. Распределение вероятностей непрерывной случайной величины задано функцией распределения

а = 2 b = 5,5

Требуется: а) найти значение с; б) плотность распределения вероятностей f(x); в) вычислить М(х); D(x); s(x)

 

Вариант № 25

1. На сборку поступают детали с трех автоматов. Первый дает 20%, второй 30% и третий 50% деталей данного типа, поступающих на сборку. Первый автомат допускает 0,2% брака деталей, второй – 0,3%, третий – 0,5%. Найти вероятность того, что взятая наудачу деталь стандартна.
2. Имеются три одинаковых по виду ящика. В первом ящике 20 белых шаров, во втором – 10 белых и 10 черных, в третьем – 20 черных шаров. Из выбранного наудачу ящика вынули белый шар. Вычислить вероятность того, что шар вынут из первого ящика.
3. Распределение вероятностей непрерывной случайной величины задано функцией распределения

а = 4,5 b = 8

Требуется: а) найти значение с; б) плотность распределения вероятностей f(x); в) вычислить М(х); D(x); s(x)

 

Письменный опрос

 

Вариант № 1

Теоретическая часть

1. Что называется случайной величиной? Примеры
2. Свойства математического ожидания
3. Как найти вероятность попадания непрерывной случайной величины в заданный интервал?
4. Может ли при каком-либо значении аргумента плотность распределения вероятности быть отрицательной?
5. Как вычислить попадание в заданный интервал нормальной случайной величины?

Практическая часть

1. Вычислить числовые характеристики (математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение) и построить многоугольник распределения для дискретной величины, заданной законом распределения

Хi	2	4	6	8	10
Pi	0,15	0,24	0,36	0,15	0,1

2. По заданному виду плотности вероятности f(x) случайной величины Х, принимающей значения в заданном интервале. Найти уравнение плотности f(x) и функции распределения F(x). Построить графики этих функций, вычислить числовые характеристики непрерывной случайной величины.

Вариант № 2

Теоретическая часть

1. Какую случайную величину называют дискретной? Пример
2. Что является числовой характеристикой рассеяния случайной величины?
3. Свойства функции распределения (4 и 5)
4. Что называют плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины?
5. Какой график имеет нормальная кривая?

Практическая часть

1. Вычислить числовые характеристики (математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение) и построить многоугольник распределения для дискретной величины, заданной законом распределения

Хi	10	20	30	40	50
Pi	0,1	0,14	0,26	0,2	0,3

2. По заданному виду плотности вероятности f(x) случайной величины Х, принимающей значения в заданном интервале. Найти уравнение плотности f(x) и функции распределения F(x). Построить графики этих функций, вычислить числовые характеристики непрерывной случайной величины.

Вариант № 3

Теоретическая часть

1. Какую случайную величину называют непрерывной? Пример
2. Формула для вычисления дисперсии
3. График функции распределения. Пример
4. Как найти среднеквадратическое отклонение непрерывной случайной величины?
5. Как вычислить вероятность заданного отклонения?

Практическая часть

1. Вычислить числовые характеристики (математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение) и построить многоугольник распределения для дискретной случайной величины, заданной законом распределения.

Хi	-3	-1	0	5	10
Pi	0,1	0,2	0,21	0,38	0,11

2. По заданному виду плотности вероятности f(x) случайной величины Х, принимающей значения в заданном интервале. Найти уравнение плотности f(x) и функции распределения F(x). Построить графики этих функций, вычислить числовые характеристики непрерывной случайной величины.

Вариант № 4

Теоретическая часть

1. Что называют законом распределения дискретной случайной величины?
2. Как найти среднеквадратическое отклонение дискретной случайной величины?
3. Может ли при каком-либо значении аргумента плотность распределения вероятности быть больше 1?
4. Свойства плотности распределения
5. Что называют нормальным распределением?

Практическая часть

1. Вычислить числовые характеристики (математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение) и построить многоугольник распределения для дискретной случайной величины, заданной законом распределения

Хi	2	3	4	5	6
Pi	0,025	0,45	0,09	0,38	0,055

2. По заданному виду плотности вероятности f(x) случайной величины Х, принимающей значения в заданном интервале. Найти уравнение плотности f(x) и функции распределения F(x). Построить графики этих функций, вычислить числовые характеристики непрерывной случайной величины.

Вариант № 5

Теоретическая часть

1. Что называют числовыми характеристиками случайной величины?
2. Свойства дисперсии
3. Может ли при каком-либо значении аргумента функция распределения быть отрицательной?
4. Почему f (x) носит название «плотность распределения вероятностей»?
5. Какими параметрами определяется нормальное распределение?

Практическая часть

1. Вычислить числовые характеристики (математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение) и построить многоугольник распределения для дискретной случайной величины, заданной законом распределения.

Хi	0	10	15	20	30
Pi	0,05	0,35	0,2	0,15	0,25

2. По заданному виду плотности вероятности f(x) случайной величины Х, принимающей значения в заданном интервале. Найти уравнение плотности f(x) и функции распределения F(x). Построить графики этих функций, вычислить числовые характеристики непрерывной случайной величины.

Вариант № 6

Теоретическая часть

1. Что такое математическое ожидание?
2. Определение функции распределения. Пример
3. Может ли при каком-либо значении аргумента функция распределения быть больше 1?
4. Что называют дисперсией непрерывной случайной величины?
5. Чему равно математическое ожидание нормального распределения?

Практическая часть

1. Вычислить числовые характеристики (математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение) и построить многоугольник распределения для дискретной случайной величины, заданной законом распределения

Хi	1	3	5	7	9
Pi	0,15	0,35	0,25	0,14	0,11

2. По заданному виду плотности вероятности f(x) случайной величины Х, принимающей значения в заданном интервале. Найти уравнение плотности f(x) и функции распределения F(x). Построить графики этих функций, вычислить числовые характеристики непрерывной случайной величины.

Вариант № 7

Теоретическая часть

1. Что называют среднеквадратическим отклонением случайной величины?
2. Свойства функции распределения (первых три)
3. Что называют математическим ожиданием непрерывной случайной величины?
4. Чему равна дисперсия нормального распределения?
5. Чему равно среднеквадратическое отклонение нормального распределения?

Практическая часть

1. Вычислить числовые характеристики (математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение) и построить многоугольник распределения для дискретной случайной величины, заданной законом распределения

Хi	10	20	30	40	45
Pi	0,1	0,2	0,4	0,25	0,05

2. По заданному виду плотности вероятности f(x) случайной величины Х, принимающей значения в заданном интервале. Найти уравнение плотности f(x) и функции распределения F(x). Построить графики этих функций, вычислить числовые характеристики непрерывной случайной величины.

Вариант № 8

Теоретическая часть

1. Что называется случайной величиной? Примеры
2. Свойства математического ожидания
3. Как найти вероятность попадания непрерывной случайной величины в заданный интервал?
4. Может ли при каком-либо значении аргумента плотность распределения вероятности быть отрицательной?
5. Как вычислить попадание в заданный интервал нормальной случайной величины?

Практическая часть

1. Вычислить числовые характеристики (математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение) и построить многоугольник распределения для дискретной сл. величины, заданной законом распределения.

Хi	1	2	3	4	5
Pi	0,155	0,234	0,336	0,18	0,095

2. По заданному виду плотности вероятности f(x) случайной величины Х, принимающей значения в заданном интервале. Найти уравнение плотности f(x) и функции распределения F(x). Построить графики этих функций, вычислить числовые характеристики непрерывной случайной величины.

Вариант № 9

Теоретическая часть

1. Какую случайную величину называют дискретной? Пример
2. Что является числовой характеристикой рассеяния случайной величины?
3. Свойства функции распределения (4 и 5)
4. Что называют плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины?
5. Какой график имеет нормальная кривая?

Практическая часть

1. Вычислить числовые характеристики (математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение) и построить многоугольник распределения для дискретной сл. величины, заданной законом распределения

Хi	0	1	2	4	8
Pi	0,12	0,25	0,32	0,21	0,1

2. По заданному виду плотности вероятности f(x) случайной величины Х, принимающей значения в заданном интервале. Найти уравнение плотности f(x) и функции распределения F(x). Построить графики этих функций, вычислить числовые характеристики непрерывной случайной величины.

Вариант № 10

Теоретическая часть

1. Какую случайную величину называют непрерывной? Пример
2. Формула для вычисления дисперсии
3. График функции распределения. Пример
4. Как найти среднеквадратическое отклонение непрерывной случайной величины?
5. Как вычислить вероятность заданного отклонения?

Практическая часть

1. Вычислить числовые характеристики (математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение) и построить многоугольник распределения для дискретной случайной величины, заданной законом распределения

Хi	-2	2	5	8	10
Pi	0,015	0,3	0,45	0,15	0,085

2. По заданному виду плотности вероятности f(x) случайной величины Х, принимающей значения в заданном интервале. Найти уравнение плотности f(x) и функции распределения F(x). Построить графики этих функций, вычислить числовые характеристики непрерывной случайной величины.

Вариант № 11

Теоретическая часть

1. Что называют законом распределения дискретной случайной величины?
2. Как найти среднеквадратическое отклонение дискретной случайной величины?
3. Может ли при каком-либо значении аргумента плотность распределения вероятности быть больше 1?
4. Свойства плотности распределения
5. Что называют нормальным распределением?

Практическая часть

1. Вычислить числовые характеристики (математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение) и построить многоугольник распределения для дискретной случайной величины, заданной законом распределения

Хi	1	2	3	5	6
Pi	0,2	0,3	0,35	0,1	0,05

2. По заданному виду плотности вероятности f(x) случайной величины Х, принимающей значения в заданном интервале. Найти уравнение плотности f(x) и функции распределения F(x). Построить графики этих функций, вычислить числовые характеристики непрерывной случайной величины.

Вариант № 12

Теоретическая часть

1. Что называют числовыми характеристиками случайной величины?
2. Свойства дисперсии
3. Может ли при каком-либо значении аргумента функция распределения быть отрицательной?
4. Почему f (x) носит название «плотность распределения вероятностей»?
5. Какими параметрами определяется нормальное распределение?

Практическая часть

1. Вычислить числовые характеристики (математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение) и построить многоугольник распределения для дискретной случайной величины, заданной законом распределения

Хi	-10	0	20	30	40
Pi	0,1	0,1	0,3	0,2	0,3

2. По заданному виду плотности вероятности f(x) случайной величины Х, принимающей значения в заданном интервале. Найти уравнение плотности f(x) и функции распределения F(x). Построить графики этих функций, вычислить числовые характеристики непрерывной случайной величины.

Вариант № 13

Теоретическая часть

1. Что такое математическое ожидание?
2. Определение функции распределения. Пример
3. Может ли при каком-либо значении аргумента функция распределения быть больше 1?
4. Что называют дисперсией непрерывной случайной величины?
5. Чему равно математическое ожидание нормального распределения?

Практическая часть

1. Вычислить числовые характеристики (математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение) и построить многоугольник распределения для дискретной случайной величины, заданной законом распределения

Хi	1	3	5	7	9
Pi	0,15	0,35	0,25	0,14	0,11

2. По заданному виду плотности вероятности f(x) случайной величины Х, принимающей значения в заданном интервале. Найти уравнение плотности f(x) и функции распределения F(x). Построить графики этих функций, вычислить числовые характеристики непрерывной случайной величины.

Вариант № 14

Теоретическая часть

1. Что называют среднеквадратическим отклонением случайной величины?
2. Свойства функции распределения (первых три)
3. Что называют математическим ожиданием непрерывной случайной величины?
4. Чему равна дисперсия нормального распределения?
5. Чему равно среднеквадратическое отклонение нормального распределения?

Практическая часть

1. Вычислить числовые характеристики (математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение) и построить многоугольник распределения для дискретной случайной величины, заданной законом распределения

Хi	10	20	30	40	45
Pi	0,1	0,2	0,4	0,25	0,05

2. По заданному виду плотности вероятности f(x) случайной величины Х, принимающей значения в заданном интервале. Найти уравнение плотности f(x) и функции распределения F(x). Построить графики этих функций, вычислить числовые характеристики непрерывной случайной величины.

Вариант № 15

Теоретическая часть

1. Что называется случайной величиной? Примеры
2. Свойства математического ожидания
3. Как найти вероятность попадания непрерывной случайной величины в заданный интервал?
4. Может ли при каком-либо значении аргумента плотность распределения вероятности быть отрицательной?
5. Как вычислить попадание в заданный интервал нормальной случайной величины?

Практическая часть

1. Вычислить числовые характеристики (математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение) и построить многоугольник распределения для дискретной величины, заданной законом распределения

Хi	2	4	6	8	10
Pi	0,15	0,24	0,36	0,15	0,1

2. По заданному виду плотности вероятности f(x) случайной величины Х, принимающей значения в заданном интервале. Найти уравнение плотности f(x) и функции распределения F(x). Построить графики этих функций, вычислить числовые характеристики непрерывной случайной величины.

Вариант № 16

Теоретическая часть

1. Какую случайную величину называют дискретной? Пример
2. Что является числовой характеристикой рассеяния случайной величины?
3. Свойства функции распределения (4 и 5)
4. Что называют плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины?
5. Какой график имеет нормальная кривая?

Практическая часть

3. Вычислить числовые характеристики (математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение) и построить многоугольник распределения для дискретной величины, заданной законом распределения

Хi	10	20	30	40	50
Pi	0,1	0,14	0,26	0,2	0,3

4. По заданному виду плотности вероятности f(x) случайной величины Х, принимающей значения в заданном интервале. Найти уравнение плотности f(x) и функции распределения F(x). Построить графики этих функций, вычислить числовые характеристики непрерывной случайной величины.

Вариант № 17

Теоретическая часть

1. Какую случайную величину называют непрерывной? Пример
2. Формула для вычисления дисперсии
3. График функции распределения. Пример
4. Как найти среднеквадратическое отклонение непрерывной случайной величины?
5. Как вычислить вероятность заданного отклонения?

Практическая часть

1. Вычислить числовые характеристики (математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение) и построить многоугольник распределения для дискретной случайной величины, заданной законом распределения.

Хi	-3	-1	0	5	10
Pi	0,1	0,2	0,21	0,38	0,11

2. По заданному виду плотности вероятности f(x) случайной величины Х, принимающей значения в заданном интервале. Найти уравнение плотности f(x) и функции распределения F(x). Построить графики этих функций, вычислить числовые характеристики непрерывной случайной величины.

Вариант № 18

Теоретическая часть

1. Что называют законом распределения дискретной случайной величины?
2. Как найти среднеквадратическое отклонение дискретной случайной величины?
3. Может ли при каком-либо значении аргумента плотность распределения вероятности быть больше 1?
4. Свойства плотности распределения
5. Что называют нормальным распределением?

Практическая часть

1. Вычислить числовые характеристики (математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение) и построить многоугольник распределения для дискретной случайной величины, заданной законом распределения

Хi	2	3	4	5	6
Pi	0,025	0,45	0,09	0,38	0,055

2. По заданному виду плотности вероятности f(x) случайной величины Х, принимающей значения в заданном интервале. Найти уравнение плотности f(x) и функции распределения F(x). Построить графики этих функций, вычислить числовые характеристики непрерывной случайной величины.

Вариант № 19

Теоретическая часть

1. Что называют числовыми характеристиками случайной величины?
2. Свойства дисперсии
3. Может ли при каком-либо значении аргумента функция распределения быть отрицательной?
4. Почему f (x) носит название «плотность распределения вероятностей»?
5. Какими параметрами определяется нормальное распределение?

Практическая часть

1. Вычислить числовые характеристики (математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение) и построить многоугольник распределения для дискретной случайной величины, заданной законом распределения.

Хi	0	10	15	20	30
Pi	0,05	0,35	0,2	0,15	0,25

2. По заданному виду плотности вероятности f(x) случайной величины Х, принимающей значения в заданном интервале. Найти уравнение плотности f(x) и функции распределения F(x). Построить графики этих функций, вычислить числовые характеристики непрерывной случайной величины.

Вариант № 20

Теоретическая часть

1. Что такое математическое ожидание?
2. Определение функции распределения. Пример
3. Может ли при каком-либо значении аргумента функция распределения быть больше 1?
4. Что называют дисперсией непрерывной случайной величины?
5. Чему равно математическое ожидание нормального распределения?

Практическая часть

1. Вычислить числовые характеристики (математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение) и построить многоугольник распределения для дискретной случайной величины, заданной законом распределения

Хi	1	3	5	7	9
Pi	0,15	0,35	0,25	0,14	0,11

2. По заданному виду плотности вероятности f(x) случайной величины Х, принимающей значения в заданном интервале. Найти уравнение плотности f(x) и функции распределения F(x). Построить графики этих функций, вычислить числовые характеристики непрерывной случайной величины.

Вариант № 21

Теоретическая часть

1. Что называют среднеквадратическим отклонением случайной величины?
2. Свойства функции распределения (первых три)
3. Что называют математическим ожиданием непрерывной случайной величины?
4. Чему равна дисперсия нормального распределения?
5. Чему равно среднеквадратическое отклонение нормального распределения?

Практическая часть

1. Вычислить числовые характеристики (математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение) и построить многоугольник распределения для дискретной случайной величины, заданной законом распределения

Хi	10	20	30	40	45
Pi	0,1	0,2	0,4	0,25	0,05

2. По заданному виду плотности вероятности f(x) случайной величины Х, принимающей значения в заданном интервале. Найти уравнение плотности f(x) и функции распределения F(x). Построить графики этих функций, вычислить числовые характеристики непрерывной случайной величины.

Вариант № 22

Теоретическая часть

1. Что называется случайной величиной? Примеры
2. Свойства математического ожидания
3. Как найти вероятность попадания непрерывной случайной величины в заданный интервал?
4. Может ли при каком-либо значении аргумента плотность распределения вероятности быть отрицательной?
5. Как вычислить попадание в заданный интервал нормальной случайной величины?

Практическая часть

1. Вычислить числовые характеристики (математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение) и построить многоугольник распределения для дискретной сл. величины, заданной законом распределения.

Хi	1	2	3	4	5
Pi	0,155	0,234	0,336	0,18	0,095

2. По заданному виду плотности вероятности f(x) случайной величины Х, принимающей значения в заданном интервале. Найти уравнение плотности f(x) и функции распределения F(x). Построить графики этих функций, вычислить числовые характеристики непрерывной случайной величины.

Вариант № 23

Теоретическая часть

1. Какую случайную величину называют дискретной? Пример
2. Что является числовой характеристикой рассеяния случайной величины?
3. Свойства функции распределения (4 и 5)
4. Что называют плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины?
5. Какой график имеет нормальная кривая?

Практическая часть

1. Вычислить числовые характеристики (математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение) и построить многоугольник распределения для дискретной сл. величины, заданной законом распределения

Хi	0	1	2	4	8
Pi	0,12	0,25	0,32	0,21	0,1

2. По заданному виду плотности вероятности f(x) случайной величины Х, принимающей значения в заданном интервале. Найти уравнение плотности f(x) и функции распределения F(x). Построить графики этих функций, вычислить числовые характеристики непрерывной случайной величины.

Вариант № 24

Теоретическая часть

1. Какую случайную величину называют непрерывной? Пример
2. Формула для вычисления дисперсии
3. График функции распределения. Пример
4. Как найти среднеквадратическое отклонение непрерывной случайной величины?
5. Как вычислить вероятность заданного отклонения?

Практическая часть

1. Вычислить числовые характеристики (математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение) и построить многоугольник распределения для дискретной случайной величины, заданной законом распределения

Хi	-2	2	5	8	10
Pi	0,015	0,3	0,45	0,15	0,085

2. По заданному виду плотности вероятности f(x) случайной величины Х, принимающей значения в заданном интервале. Найти уравнение плотности f(x) и функции распределения F(x). Построить графики этих функций, вычислить числовые характеристики непрерывной случайной величины.

 

 

 

Практическая работа № 9

Тема: «Расчет сводных характеристик выборки»

Решить задачи согласно своего варианта:

Вариант № 1

Найти методом произведений выборочные среднее квадратическое отклонение и дисперсию по данному статистическому распределению выборки:

Варианты	5,2	5,6	6,0	6,4	6,8	7,2	7,6	8,0	8,4	8,8	9,2	6,6
частоты	8	7	4	10	25	57	9	11	4	5	3	7

Вариант № 2

Найти методом произведений выборочные среднее квадратическое отклонение и дисперсию по данному статистическому распределению выборки:

Варианты	1,25	3,25	5,25	7,25	9,25	11,25	13,25	15,25	17,25	19,25	21,25
частоты	32	40	90	110	74	144	10	1	3	7	5

Вариант № 3

Найти методом произведений выборочные среднее квадратическое отклонение и дисперсию по данному статистическому распределению выборки:

Варианты	10,3	10,5	10,7	10,9	11,1	11,3	11,5	11,7	11,9	12,1	12,3	12,5
частоты	4	7	8	10	25	15	12	10	4	5	6	4

Вариант № 4

Найти методом произведений выборочные среднее квадратическое отклонение и дисперсию по данному статистическому распределению выборки:

Варианты	13	15	17	19	21	23	25	27	29	31	33
частоты	12	40	90	120	88	400	10	2	7	5	4

Вариант № 5

Найти методом произведений выборочные среднее квадратическое отклонение и дисперсию по данному статистическому распределению выборки:

Варианты	3,5	4,5	5,5	6,5	7,5	8,5	9,5	10,5	11,5	12,5	13,5
частоты	75	175	300	75	130	405	200	5	7	6	9

Вариант № 6

Найти методом произведений выборочные среднее квадратическое отклонение и дисперсию по данному статистическому распределению выборки:

Варианты	2,8	2,9	3,0	3,1	3,2	3,3	3,4	3,5	3,6	3,7	3,8
частоты	15	47	6	48	14	350	1	47	63	52	22

Вариант № 7

Найти методом произведений выборочные среднее квадратическое отклонение и дисперсию по данному статистическому распределению выборки:

Варианты	3,15	4,15	5,15	6,15	7,15	8,15	9,15	10,15	11,15	12,15	13,15
частоты	75	175	30	75	130	405	100	2	7	3	57

Вариант № 8

Найти методом произведений выборочные среднее квадратическое отклонение и дисперсию по данному статистическому распределению выборки:

Варианты	1,15	3,15	5,15	7,15	9,15	11,15	13,15	15,15	17,15	19,15	21,15
частоты	38	2	198	56	6	250	50	2	13	5	48

Вариант № 9

Найти методом произведений выборочные среднее квадратическое отклонение и дисперсию по данному статистическому распределению выборки:

Варианты	3,5	4,5	5,5	6,5	7,5	8,5	9,5	10,5	11,5	12,5	13,5
частоты	65	165	290	85	130	345	220	10	14	2	5

Вариант № 10

Найти методом произведений выборочные среднее квадратическое отклонение и дисперсию по данному статистическому распределению выборки:

Варианты	2,25	2,75	3,25	3,75	4,25	4,75	5,25	5,75	6,25	6,75	7,25
частоты	7	13	13	12	5	60	30	2	4	45	8

Вариант № 11

Найти методом произведений выборочные среднее квадратическое отклонение и дисперсию по данному статистическому распределению выборки:

Варианты	325	375	425	475	525	575	625	675	725	775	825
частоты	3	12	25	28	12	520	2	4	7	1	9

 

Вариант № 12

Найти методом произведений выборочные среднее квадратическое отклонение и дисперсию по данному статистическому распределению выборки:

Варианты	10	20	30	40	50	60	70	80	90	100	110
частоты	27	68	47	29	9	120	7	8	9	4	2

Вариант № 13

Найти методом произведений выборочные среднее квадратическое отклонение и дисперсию по данному статистическому распределению выборки:

Варианты	2,25	2,75	3,25	3,75	4,25	4,75	5,25	5,75	6,25	6,75	7,25
частоты	13	22	59	20	6	72	18	5	47	8	9

Вариант № 14

Найти методом произведений выборочные среднее квадратическое отклонение и дисперсию по данному статистическому распределению выборки:

Варианты	6	12	18	24	30	36	42	48	54	60	66
частоты	10	20	20	16	16	88	10	5	4	8	4

Вариант № 15

Найти методом произведений выборочные среднее квадратическое отклонение и дисперсию по данному статистическому распределению выборки:

Варианты	6,3	12,3	18,3	24,3	30,3	36,3	42,3	48,3	54,3	60,3	66,3
частоты	7	8	20	10	5	97	23	57	4	8	9

Вариант № 16

Найти методом произведений выборочные среднее квадратическое отклонение и дисперсию по данному статистическому распределению выборки:

Варианты	110	115	120	125	130	135	140	145	150	155	160
частоты	5	10	17	12	6	50	2	41	5	7	14

 

Вариант № 17

Найти методом произведений выборочные среднее квадратическое отклонение и дисперсию по данному статистическому распределению выборки:

Варианты	10	20	30	40	50	60	70	80	90	100	110
частоты	1	7	18	18	6	50	35	42	4	8	5

Вариант № 18

Найти методом произведений выборочные среднее квадратическое отклонение и дисперсию по данному статистическому распределению выборки:

Варианты	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	1,1	1,2	1,3
частоты	10	30	10	26	16	80	5	2	7	14	6

Вариант № 19

Найти методом произведений выборочные среднее квадратическое отклонение и дисперсию по данному статистическому распределению выборки:

Варианты	0,15	1,15	2,15	3,15	4,15	5,15	6,15	7,15	8,15	9,15	10,15
частоты	10	16	25	26	14	90	14	7	25	34	9

Вариант № 20

Найти методом произведений выборочные среднее квадратическое отклонение и дисперсию по данному статистическому распределению выборки:

Варианты	2	4	6	8	10	12	14	16	18	20	22
частоты	3	10	13	12	92	40	20	13	47	5	8

Вариант № 21

Найти методом произведений выборочные среднее квадратическое отклонение и дисперсию по данному статистическому распределению выборки:

Варианты	154	158	162	166	170	174	178	182	186	190	194
частоты	10	14	26	22	12	72	4	8	2	4	15

Вариант № 22

Найти методом произведений выборочные среднее квадратическое отклонение и дисперсию по данному статистическому распределению выборки:

Варианты	12	15	18	21	24	27	30	33	36	39	42
частоты	45	40	10	30	10	225	270	180	90	24	7

Вариант № 23

Найти методом произведений выборочные среднее квадратическое отклонение и дисперсию по данному статистическому распределению выборки:

Варианты	28	31	34	37	40	43	46	49	52	55	58
частоты	5	13	22	28	18	310	4	14	7	23	2

Вариант № 24

Найти методом произведений выборочные среднее квадратическое отклонение и дисперсию по данному статистическому распределению выборки:

Варианты	4,5	10,5	16,5	22,5	28,5	34,5	40,5	46,5	52,5	58,5	64,5
частоты	30	110	240	310	215	395	14	4	75	2	4

Вариант № 25

Найти методом произведений выборочные среднее квадратическое отклонение и дисперсию по данному статистическому распределению выборки:

Варианты	0,5	1,5	2,5	3,5	4,5	5,5	6,5	7,5	8,5	9,5	10,5
частоты	20	10	240	310	215	395	114	4	75	12	4

 

Практическая работа № 10

Тема: «Вычисление параметров выборочного уравнения прямой линии регрессии по сгруппированным данным. Выборочный коэффициент корреляции»

Решить задачи согласно своего варианта:

Вариант № 1

Дана корреляционная таблица.

У	Х
	15	20	25	30	35	40	45	nу
5	7	3	—	—	—	—	—	10
7	4	8	2	—	—	—	—	14
9	—	5	11	5	—	—	—	21
11	2	4	8	13	1	2	—	30
13	1	—	—	7	16	6	3	33
15	—	—	2	1	3	19	7	32
17	—	—	—	—	—	3	17	20
nх	14	20	23	26	20	30	27	n = 160

Найти: а) выборочный коэффициент корреляции; б) выборочные уравнения прямых регрессии.

Вариант № 2

Дана корреляционная таблица.

У	Х
	1	3	5	7	9	11	13	nу
5	—	—	—	—	—	2	5	7
9	—	—	—	1	6	1	—	8
13	—	—	6	2	2	—	—	10
17	—	4	3	1	—	—	—	8
21	2	4	1	—	—	—	—	7
25	7	3	—	—	—	—	—	10
nх	9	11	10	4	8	3	5	n = 50

Найти: а) выборочный коэффициент корреляции; б) выборочные уравнения прямых регрессии.

Вариант № 3

Дана корреляционная таблица.

У	Х
	15	25	35	45	55	65	75	nу
9	2	4	—	—	—	—	—	6
15	5	6	1	—	—	—	—	12
21	—	3	8	12	2	—	—	25
27	—	—	9	16	6	—	—	31
33	—	—	3	2	4	7	1	17
39	—	—	—	—	1	2	6	9
nх	7	13	21	30	13	9	7	n = 100

Найти: а) выборочный коэффициент корреляции; б) выборочные уравнения прямых регрессии.

Вариант № 4

Дана корреляционная таблица.

 

У	Х
	5	15	25	35	45	nу
0,5	7	—	—	—	—	7
5,5	11	5	—	—	—	16
10,5	—	19	15	5	—	39
15,5	—	3	15	6	1	25
20,5	—	—	2	4	4	10
25,5	—	—	—	—	3	3
nх	18	27	32	15	8	n = 100

Найти: а) выборочный коэффициент корреляции; б) выборочные уравнения прямых регрессии.

Вариант № 5

Дана корреляционная таблица.

У	Х
	10	15	20	25	30	nу
2,5	—	—	—	—	6	6
3,0	—	—	—	6	6	12
3,5	2	4	2	—	—	8
4,0	—	—	6	4	—	10
4,5	4	—	—	—	—	4
nх	6	4	8	10	12	n = 40

Найти: а) выборочный коэффициент корреляции; б) выборочные уравнения прямых регрессии.

Вариант № 6

Дана корреляционная таблица.

У	Х
	325	375	425	475	525	nу
125	3	—	—	—	—	3
175	2	8	2	—	—	12
225	—	7	5	13	—	25
275	—	1	10	10	7	28
325	—	—	—	7	5	12
nх	5	16	17	30	12	n = 80

Найти: а) выборочный коэффициент корреляции; б) выборочные уравнения прямых регрессии.

Вариант № 7

Дана корреляционная таблица.

У	Х
	100	200	300	400	500	nу
7,75	—	—	1	2	1	4
8,25	—	3	-10	1	—	14
8,75	3	40	2	—	—	45
9,25	5	20	1	—	—	26
9,75	10	1	—	—	—	11
nх	18	64	14	3	1	n = 100

Найти: а) выборочный коэффициент корреляции; б) выборочные уравнения прямых регрессии.

Вариант № 8

Дана корреляционная таблица.

У	Х
	15	25	35	45	55	nу
25	7	20	—	—	—	27
35	5	23	30	10	—	68
45	—	—	47	11	9	67
55	—	—	2	20	7	29
65	—	—	—	6	3	9
nх	12	43	79	47	19	n = 200

Найти: а) выборочный коэффициент корреляции; б) выборочные уравнения прямых регрессии.

Вариант № 9

Дана корреляционная таблица.

У	Х
	500	1500	2500	3500	4500	nу
1,75	—	—	—	1	6	7
2,25	—	—	4	6	3	13
2,75	—	3	6	4	—	13
3,25	2	6	3	1	—	12
3,75	3	2	—	—	—	5
nх	5	11	13	12	9	n = 50

Найти: а) выборочный коэффициент корреляции; б) выборочные уравнения прямых регрессии.

Вариант № 10

Дана корреляционная таблица.

У	Х
	45	55	65	75	85	nу
12,5	5	10	—	—	—	15
17,5	7	7	27	—	—	41
22,5	—	26	40	24	—	90
27,5	—	—	20	10	4	34
32,5	—	—	—	8	12	20
nх	12	43	87	42	16	n = 200

 

Найти: а) выборочный коэффициент корреляции; б) выборочные уравнения прямых регрессии.

Вариант № 11

Дана корреляционная таблица.

У	Х
	0,5	1,5	2,5	3,5	4,5	5,5	6,5	nу
2,5	7	4	2	—	—	—	—	13
7,5	—	6	8	6	2	—	—	22
12,5	—	5	8	20	14	10	2	59
17,5	—	—	2	5	3	4	6	20
22,5	—	—	—	—	—	2	4	6
nх	7	15	20	31	19	16	12	n = 120

Найти: а) выборочный коэффициент корреляции; б) выборочные уравнения прямых регрессии.

Вариант № 12

Дана корреляционная таблица.

У	Х
	30	40	50	60	70	80	90	nу
0	—	—	—	—	—	4	6	10
6	—	—	—	6	6	8	—	20
12	—	1	2	14	3	—	—	20
18	1	5	18	2	—	—	—	26
24	—	4	10	2	—	—	—	16
30	1	5	2	—	—	—	—	8
nх	2	15	32	24	9	12	6	n = 100

Найти: а) выборочный коэффициент корреляции; б) выборочные уравнения прямых регрессии.

Вариант № 13

Дана корреляционная таблица.

У	Х
	45	55	65	75	85	nу
1,125	—	—	—	2	6	8
1,375	—	—	4	7	4	15
1,625	1	1	7	5	—	14
1,875	2	4	1	—	—	7
2,125	3	3	—	—	—	6
nх	6	8	12	14	10	n = 50

 

Найти: а) выборочный коэффициент корреляции; б) выборочные уравнения прямых регрессии.

 

Вариант № 14

Дана корреляционная таблица.

У	Х
	32,5	37,5	42,5	47,5	52,5	nу
5	2	—	—	—	—	2
7	17	10	3	—	—	30
9	9	-17	24	6	2	58
11	3	9	16	24	11	63
13	—	—	13	12	22	47
nх	31	36	56	42	35	n = 200

Найти: а) выборочный коэффициент корреляции; б) выборочные уравнения прямых регрессии.

Вариант № 15

Дана корреляционная таблица.

У	Х
	1	3	5	7	9	nу
0,5	3	2	2	—	—	7
1,5	1	4	3	—	—	8
2,5	—	6	10	4	—	20
3,5	—	—	3	6	1	10
4,5	—	—	—	3	2	5
nх	4	12	18	13	3	n = 50

Найти: а) выборочный коэффициент корреляции; б) выборочные уравнения прямых регрессии.

Вариант № 16

Дана корреляционная таблица.

У	Х
	0	8	16	24	32	nу
80	2	2	1	—	—	5
90	1	3	6	—	—	10
100	—	3	5	8	1	17
110	—	—	2	7	3	12
120	—	—	—	2	4	6
nх	3	8	14	17	8	n = 50

Найти: а) выборочный коэффициент корреляции; б) выборочные уравнения прямых регрессии.

Вариант № 17

Дана корреляционная таблица.

У	Х
	122,5	127,5	132,5	137,5	142,5	147,5	152,5	nу
22,5	1	—	—	—	—	—	—	1
25,5	3	2	1	1	—	—	—	7
28,5	—	6	5	6	1	—	—	18
31,5	—	1	5	7	4	1	—	18
34,5	—	—	—	2	2	1	1	6
nх	4	9	11	16	7	2	1	n = 50

Найти: а) выборочный коэффициент корреляции; б) выборочные уравнения прямых регрессии.

Вариант № 18

Дана корреляционная таблица.

У	Х
	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	nу
130	3	4	3	—	—	—	—	10
150	3	5	6	2	—	—	—	16
170	—	3	8	10	4	—	—	25
190	—	—	2	8	10	6	—	26
210	—	—	—	6	5	2	1	14
230	—	—	—	—	1	2	6	9
nх	6	12	19	26	20	10	7	n = 100

Найти: а) выборочный коэффициент корреляции; б) выборочные уравнения прямых регрессии.

Вариант № 19

Дана корреляционная таблица.

У	Х
	0,2	0,4	0,6	0,8	1,0	1,2	nу
10	4	2	—	—	—	—	6
15	—	2	—	6	—	—	8
20	—	—	2	—	—	—	2
25	—	—	—	4	—	—	4
30	—	—	—	4	6	—	10
35	—	—	—	—	6	4	10
nх	4	4	2	14	12	4	n = 40

Найти: а) выборочный коэффициент корреляции; б) выборочные уравнения прямых регрессии.

Вариант № 20

Дана корреляционная таблица.

У	Х
	550	650	750	850	950	nу
90	2	1	—	—	—	3
100	3	4	3	—	—	10
110	—	3	5	5	—	13
120	—	—	4	4	4	12
130	—	—	—	2	—	2
nх	5	8	12	11	4	n = 40

Найти: а) выборочный коэффициент корреляции; б) выборочные уравнения прямых регрессии.

Вариант № 21

Дана корреляционная таблица.

У	Х
	0,1	0,25	0,40	0,55	0,70	nу
40	7	5	3	—	—	15
50	3	12	4	1	—	20
60	—	10	15	3	—	28
70	—	1	6	12	5	24
80	—	—	2	4	7	13
nх	10	28	30	20	12	n = 50

Найти: а) выборочный коэффициент корреляции; б) выборочные уравнения прямых регрессии.

Вариант № 22

Дана корреляционная таблица.

У	Х
	5	10	15	20	nу
10	2	—	—	—	2
20	5	4	1	—	10
30	3	8	6	3	20
40	—	3	6	6	15
50	—	—	2	1	3
nх	10	15	15	10	n = 50

Найти: а) выборочный коэффициент корреляции; б) выборочные уравнения прямых регрессии.

Вариант № 23

Дана корреляционная таблица.

У	Х
	65	95	125	155	185	nу
30	5	—	—	—	—	5
40	4	12	—	—	—	16
50	—	8	5	4	—	17
60	—	1	5	7	2	15
70	—	—	—	—	2	2
nх	9	21	10	11	4	n = 55

Найти: а) выборочный коэффициент корреляции; б) выборочные уравнения прямых регрессии.

Вариант № 24

Дана корреляционная таблица.

У	Х
	4	9	14	19	24	29	nу
15	2	3	—	—	—	—	5
25	—	7	3	—	—	—	10
35	—	—	2	50	2	—	54
45	—	—	1	10	6	—	17
55	—	—	—	4	7	3	14
nх	2	10	6	64	15	3	n = 100

Найти: а) выборочный коэффициент корреляции; б) выборочные уравнения прямых регрессии.

Вариант № 25

Дана корреляционная таблица.

У	Х
	120,5	127,5	134,5	141,5	148,5	155,5	162,5	nу
12,8	1	—	—	—	—	—	—	1
15,8	2	3	1	2	—	—	—	8
18,8	—	5	5	6	1	—	—	17
21,8	—	1	5	7	4	1	—	18
24,8	—	—	—	2	2	1	1	6
nх	3	9	11	17	7	2	1	n = 50

Найти: а) выборочный коэффициент корреляции; б) выборочные уравнения прямых регрессии.

 

 

Письменный опрос

Теоретическая часть

1. Задачи математической статистики.
2. Что называется выборочной совокупностью?
3. Что называют генеральной совокупностью?
4. Что такое объем совокупности?
5. Что называют статистическим распределение выборки?
6. Что является эмпирической функцией распределения?
7. Свойства эмпирической функции распределения
8. Что называю полигоном частот?
9. Что называю полигоном относительных частот?
10. Что называю гистограммой частот?
11. Что называю гистограммой относительных частот?
12. Какая оценка называется несмещенной?
13. Какая оценка называется смещенной?
14. Какая оценка называется эффективной?
15. Какая оценка называется состоятельной?
16. Что называют генеральной средней?
17. Что называют выборочной средней?
18. Что называют генеральной дисперсией?
19. Что называют генеральным средним квадратическим отклонением?
20. Что называют выборочной дисперсией?
21. Написать формулу для вычисления выборочной дисперсии
22. Какую оценку называют интервальной?
23. Что такое надежность оценки?
24. Как находят доверительный интервал для оценки математического ожидания при известном σ?
25. Как находят доверительный интервал для оценки математического ожидания при неизвестном σ?
26. Как находят доверительный интервал для оценки среднего квадратического отклонения σ нормального распределения?
27. Как пользоваться справочными таблицами?
28. Какие варианты называют равноотстоящими?
29. Какие варианты называют условными?
30. Что называют обычным эмпирическим моментом?
31. Что называют начальным эмпирическим моментом?
32. Что называют центральным эмпирическим моментом?
33. Что называют условным эмпирическим моментом?
34. Как выражаются обычные моменты через условные?
35. Как выражаются центральные моменты через условные?
36. Техника вычислений центральных моментов по условным с помощью метода произведений.
37. Какие существуют виды зависимостей?
38. Что называют статистической зависимостью?
39. Что называют корреляционной зависимостью?
40. Что называют условным средним?
41. Какое уравнение называют выборочным уравнением регрессии?
42. Какую функцию называют выборочной регрессией?
43. Что является выборочной линией регрессии?
44. Что называют выборочным коэффициентом регрессии?
45. В чем заключается метод наименьших квадратов?
46. Какую зависимость называют статистической?
47. Какую зависимость называют корреляционной?
48. Что называют условным средним?
49. В качестве каких оценок принимают условные средние?
50. Какое уравнение называют выборочным уравнением регрессии?
51. Какую функцию называют выборочной регрессией?
52. Что называют выборочной линией регрессии?
53. Что называют выборочным коэффициентом регрессии?
54. Как находятся параметры выборочного уравнения прямой линии регрессии по сгруппированным данным?

Практическая часть

1. Построить график эмпирической функции распределения

хi	3	5	8	10
ni	3	4	7	9

2. Заданы среднее квадратическое отклонение σ нормально распределенной случайной величины Х, выборочная средняя , объем выборки n. Найти доверительные интервалы для оценки неизвестного математического ожидания с заданной надежностью γ

σ=8, =19,21, n= 36, γ=0,96

3. Количественный признак Х генеральной совокупности распределен нормально. При выборке объема n найдены выборочная средняя и «исправленной» среднее квадратическое отклонение s. Оценить неизвестное математическое ожидание при помощи доверительного интервала с надежностью γ

n= 80, γ=0,99, =29,3, s =0,7

 

 

Семестровое задание

Вариант № 1

1. В ящике имеется 15 деталей, среди которых 10 окрашенных. Сборщик наудачу извлекает три детали. Найти вероятность того, что извлеченные детали окажутся окрашенными.
2. Вероятность для данного спортсмена улучшить свой предыдущий результат с одной попытки р=0,3. Определить вероятность того, что на соревнованиях спортсмен улучшит свой вариант, если разрешается делать две попытки.
3. В первой урне содержится 10 шаров, из них 8 белых, во второй урне 20 шаров, из них 4 белых. Из каждой урны наудачу извлекли по одному шару, а затем из этих двух шаров наудачу взят один шар. Найти вероятность того, что взят белый шар.
4. Вычислить числовые характеристики (математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение) и построить многоугольник распределения для дискретной случайной величины, заданной законом распределения

Хi	-10	0	20	30	40
Pi	0,1	0,1	0,3	0,2	0,3

5. По заданному виду плотности вероятности f(x) случайной величины Х, принимающей значения в заданном интервале. Найти уравнение плотности f(x) и функции распределения F(x). Построить графики этих функций, вычислить числовые характеристики непрерывной случайной величины.
6. Дана корреляционная таблица.

У	Х
	5	10	15	20	nу
10	2	—	—	—	2
20	5	4	1	—	10
30	3	8	6	3	20
40	—	3	6	6	15
50	—	—	2	1	3
nх	10	15	15	10	n = 50

Найти: а) выборочный коэффициент корреляции; б) выборочные уравнения прямых регрессии.

Вариант № 2

1. В конверте среди 100 фотокарточек находится одна разыскиваемая. Из конверта на удачу извлечены 10 карточек. Найти вероятность того, что среди них окажется нужная.
2. В денежно-вещевой лотерее на каждые 10000 билетов разыгрывается 150 вещевых и 50 денежных выигрышей. Чему равна вероятность выигрыша, безразлично денежного или вещевого, для владельца одного лотерейного билета.
3. В каждый из трех урн содержится 6 черных и 4 белых шара. Из первой урны на удачу извлечен один шар и переложен во вторую урну, после чего из второй урны наудачу извлечен один шар и переложен в третью урну. Найти вероятность того, что шар, наудачу извлеченный из третьей урны, окажется белым.
4. Вычислить числовые характеристики (математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение) и построить многоугольник распределения для дискретной случайной величины, заданной законом распределения

Хi	1	2	3	5	6
Pi	0,2	0,3	0,35	0,1	0,05

5. По заданному виду плотности вероятности f(x) случайной величины Х, принимающей значения в заданном интервале. Найти уравнение плотности f(x) и функции распределения F(x). Построить графики этих функций, вычислить числовые характеристики непрерывной случайной величины.
6. Дана корреляционная таблица.

У	Х
	65	95	125	155	185	nу
30	5	—	—	—	—	5
40	4	12	—	—	—	16
50	—	8	5	4	—	17
60	—	1	5	7	2	15
70	—	—	—	—	2	2
nх	9	21	10	11	4	n = 55

Найти: а) выборочный коэффициент корреляции; б) выборочные уравнения прямых регрессии.

Вариант № 3

1. В ящике 100 деталей, из них 10 бракованных. Наудачу извлечены четыре детали. Найти вероятность того, что среди извлечённых деталей нет бракованных.
2. Пусть вероятность того, что покупателю необходима обувь 41-го размера, равна 0,2. Найти вероятность того, что из пяти первых покупателей обувь этого размера будет необходима, по крайней мере, одному.
3. Имеется две урны. В первой 4 белых и 6 чёрных шаров, во второй 5 белых и 5 чёрных шаров. Из первой урны во вторую перекладывается один шар. Шары перемешиваются, и затем из второй урны в первую перекладывается один шар. После этого из первой урны берут наугад один шар. Найти вероятность того, что он будет белым.
4. Вычислить числовые характеристики (математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение) и построить многоугольник распределения для дискретной случайной величины, заданной законом распределения

Хi	-2	2	5	8	10
Pi	0,015	0,3	0,45	0,15	0,085

5. По заданному виду плотности вероятности f(x) случайной величины Х, принимающей значения в заданном интервале. Найти уравнение плотности f(x) и функции распределения F(x). Построить графики этих функций, вычислить числовые характеристики непрерывной случайной величины.
6. Дана корреляционная таблица.

У	Х
	4	9	14	19	24	29	nу
15	2	3	—	—	—	—	5
25	—	7	3	—	—	—	10
35	—	—	2	50	2	—	54
45	—	—	1	10	6	—	17
55	—	—	—	4	7	3	14
nх	2	10	6	64	15	3	n = 100

Найти: а) выборочный коэффициент корреляции; б) выборочные уравнения прямых регрессии.

Вариант № 4

1. Набирая номер телефона, абонент забыл последние три цифры и, помня лишь, что эти цифры различны, набрал их наудачу. Найти вероятность того, что набраны нужные цифры.
2. Монета брошена два раза. Найти вероятность того, что хотя бы один раз появится «герб».
3. В ящике находится 6 новых теннисных мячей и 4 игранных. Из ящика наугад вынимается два мяча, которыми играют. После этого мячи возвращаются в ящик. Для следующей игры из ящика снова берут наугад два мяча. Найти вероятность того, что они будут новыми.
4. Вычислить числовые характеристики (математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение) и построить многоугольник распределения для дискретной сл. величины, заданной законом распределения

Хi	0	1	2	4	8
Pi	0,12	0,25	0,32	0,21	0,1

5. По заданному виду плотности вероятности f(x) случайной величины Х, принимающей значения в заданном интервале. Найти уравнение плотности f(x) и функции распределения F(x). Построить графики этих функций, вычислить числовые характеристики непрерывной случайной величины.
6. Дана корреляционная таблица.

У	Х
	117	122	127	132	137	142	nу
32	2	6	—	—	—	—	8
36	1	7	5	2	—	—	15
40	—	2	18	5	—	—	25
44	—	—	—	11	15	6	32
48	—	—	—	—	12	8	20
nх	3	15	23	18	27	14	n = 100

Найти: а) выборочный коэффициент корреляции; б) выборочные уравнения прямых регрессии.

Вариант №5

1. В цехе работают шесть мужчин и четыре женщины. По табельным номерам наудачу отобраны семь человек. Найти вероятность того, что среди отобранных окажутся три женщины.
2. Вероятности того, что нужная сборщику деталь находится в первом, втором, третьем, четвертом ящике соответственно равны 0,6; 0,7; 0,8; 0,9. Найти вероятность того, что деталь содержится не более чем в трех ящиках.
3. Имеются две урны. В одной из них находится шар, о котором известно, что он либо белый, либо черный. В другой урне находится 1 белый и 2 черных шара. Выбирается наугад одна из урн и вынимается из нее шар. Найти вероятность того, что извлеченный шар белый.
4. Вычислить числовые характеристики (математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение) и построить многоугольник распределения для дискретной сл. величины, заданной законом распределения.

Хi	1	2	3	4	5
Pi	0,155	0,234	0,336	0,18	0,095

5. По заданному виду плотности вероятности f(x) случайной величины Х, принимающей значения в заданном интервале. Найти уравнение плотности f(x) и функции распределения F(x). Построить графики этих функций, вычислить числовые характеристики непрерывной случайной величины.
6. Дана корреляционная таблица.

У	Х
	15	20	25	30	35	40	45	nу
5	7	3	—	—	—	—	—	10
7	4	8	2	—	—	—	—	14
9	—	5	11	5	—	—	—	21
11	2	4	8	13	1	2	—	30
13	1	—	—	7	16	6	3	33
15	—	—	2	1	3	19	7	32
17	—	—	—	—	—	3	17	20
nх	14	20	23	26	20	30	27	n = 160

Найти: а) выборочный коэффициент корреляции; б) выборочные уравнения прямых регрессии.

Вариант №6

1. В группе 12 студентов, среди которых 8 отличников. По списку наудачу отобраны 9 студентов. Найти вероятность того, что среди отобранных студентов 5 отличников.
2. Для сигнализации об аварии установлены два независимо работающих сигнализатора. Вероятность того, что при аварии сигнализатор сработает, равна 0,95 для первого сигнализатора и 0,9 для второго. Найти вероятность того, что при аварии сработает только один сигнализатор.
3. Стрелок А поражает мишень при некоторых условиях стрельбы с вероятностью p1=0,6, стрелок В – с вероятностью p2=0,5 и стрелок С — с вероятностью p3=0,4. Стрелки дали залп по мишени, и две пули попали в цель. Какова вероятность того, что  С попал в мишень?
4. Вычислить числовые характеристики (математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение) и построить многоугольник распределения для дискретной случайной величины, заданной законом распределения

Хi	10	20	30	40	45
Pi	0,1	0,2	0,4	0,25	0,05

5. По заданному виду плотности вероятности f(x) случайной величины Х, принимающей значения в заданном интервале. Найти уравнение плотности f(x) и функции распределения F(x). Построить графики этих функций, вычислить числовые характеристики непрерывной случайной величины.
6. Дана корреляционная таблица.

У	Х
	1	3	5	7	9	11	13	nу
5	—	—	—	—	—	2	5	7
9	—	—	—	1	6	1	—	8
13	—	—	6	2	2	—	—	10
17	—	4	3	1	—	—	—	8
21	2	4	1	—	—	—	—	7
25	7	3	—	—	—	—	—	10
nх	9	11	10	4	8	3	5	n = 50

Найти: а) выборочный коэффициент корреляции; б) выборочные уравнения прямых регрессии.

Вариант № 7

1. В коробке пять одинаковых изделий, причем три из них окрашены. Наудачу извлечены два изделия. Найти вероятность того, что среди двух извлеченных изделий окажется два окрашенных изделия.
2. Два стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка стрела равна 0,7, а для второго – 0,8. Найти вероятность того, что при одном залпе в мишень попадает только один из стрелков.
3. В первой урне содержится 8 белых и 2 черных шара. Во второй урне 4 белых и 16 черных шаров. Из каждой урны наудачу извлекли по одному шару, а затем из этих двух шаров наудачу взять ещё один шар. Найти вероятность того, что взять белый шар.
4. Вычислить числовые характеристики (математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение) и построить многоугольник распределения для дискретной случайной величины, заданной законом распределения

Хi	1	3	5	7	9
Pi	0,15	0,35	0,25	0,14	0,11

5. По заданному виду плотности вероятности f(x) случайной величины Х, принимающей значения в заданном интервале. Найти уравнение плотности f(x) и функции распределения F(x). Построить графики этих функций, вычислить числовые характеристики непрерывной случайной величины.
6. Дана корреляционная таблица.

У	Х
	15	25	35	45	55	65	75	nу
9	2	4	—	—	—	—	—	6
15	5	6	1	—	—	—	—	12
21	—	3	8	12	2	—	—	25
27	—	—	9	16	6	—	—	31
33	—	—	3	2	4	7	1	17
39	—	—	—	—	1	2	6	9
nх	7	13	21	30	13	9	7	n = 100

Найти: а) выборочный коэффициент корреляции; б) выборочные уравнения прямых регрессии.

Вариант № 8

1. В ящике 100 деталей, из них 10 бракованных. Наудачу извлечены 4 детали. Найти вероятность того, что среди извлеченных деталей нет годных.
2. Вероятность хотя бы одного попадания стрелком в мишень при трех выстрелах равна 0,875. Найти вероятность попадания при одном выстреле.
3. В семье 5 детей. Найти вероятность того, что среди этих детей не более двух мальчиков. Вероятность рождения мальчика равна 0,51.
4. Вычислить числовые характеристики (математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение) и построить многоугольник распределения для дискретной случайной величины, заданной законом распределения.

Хi	0	10	15	20	30
Pi	0,05	0,35	0,2	0,15	0,25

5. По заданному виду плотности вероятности f(x) случайной величины Х, принимающей значения в заданном интервале. Найти уравнение плотности f(x) и функции распределения F(x). Построить графики этих функций, вычислить числовые характеристики непрерывной случайной величины.
6. Дана корреляционная таблица.

У	Х
	5	15	25	35	45	nу
0,5	7	—	—	—	—	7
5,5	11	5	—	—	—	16
10,5	—	19	15	5	—	39
15,5	—	3	15	6	1	25
20,5	—	—	2	4	4	10
25,5	—	—	—	—	3	3
nх	18	27	32	15	8	n = 100

Найти: а) выборочный коэффициент корреляции; б) выборочные уравнения прямых регрессии.

Вариант № 9

1. В коробке пять одинаковых изделий, причем три из них окрашены. Наудачу извлечены два изделия. Найти вероятность того, что среди двух извлеченных изделий окажется хотя бы одно окрашенное изделие.
2. Вероятность выбить 10 очков при одном выстреле равна 0,2; 9 очков равна 0,3; от 1 до 9 очков равна 0,7. Определить вероятность выбить не менее 9 очков и вероятность промаха.
3. Найти вероятность того, что событие А появится не менее 3 раз в четырех независимых испытаниях, если вероятность появления события А в одном испытании равна 0,4.
4. Вычислить числовые характеристики (математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение) и построить многоугольник распределения для дискретной случайной величины, заданной законом распределения

Хi	2	3	4	5	6
Pi	0,025	0,45	0,09	0,38	0,055

5. По заданному виду плотности вероятности f(x) случайной величины Х, принимающей значения в заданном интервале. Найти уравнение плотности f(x) и функции распределения F(x). Построить графики этих функций, вычислить числовые характеристики непрерывной случайной величины.
6. Дана корреляционная таблица.

 

У	Х
	10	15	20	25	30	nу
2,5	—	—	—	—	6	6
3,0	—	—	—	6	6	12
3,5	2	4	2	—	—	8
4,0	—	—	6	4	—	10
4,5	4	—	—	—	—	4
nх	6	4	8	10	12	n = 40

Найти: а) выборочный коэффициент корреляции; б) выборочные уравнения прямых регрессии.

Вариант № 10

1. Устройство содержит 5 элементов, из которых 2 изношены. При включении устройства включаются случайным образом 2 элемента. Найти вероятность того, что включенными окажутся неизношенные элементы.
2. Студент знает 20 вопросов из 25 вопросов программы. Найти вероятность того, что студент знает предложенные ему экзаменатором три вопроса.
3. Изделие проверяется на стандартность одним из двух товароведов. Вероятность того, что изделие попадает к первому товароведу, равна 0,55, а ко второму – 0,45. Вероятность того, что стандартное изделие будет признано стандартным первым товароведом, равна 0,9, а вторым – 0,98. Стандартное изделие при проверке было признано стандартным. Найти вероятность того, что это изделие проверил второй товаровед.
4. Вычислить числовые характеристики (математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение) и построить многоугольник распределения для дискретной случайной величины, заданной законом распределения.

Хi	-3	-1	0	5	10
Pi	0,1	0,2	0,21	0,38	0,11

5. По заданному виду плотности вероятности f(x) случайной величины Х, принимающей значения в заданном интервале. Найти уравнение плотности f(x) и функции распределения F(x). Построить графики этих функций, вычислить числовые характеристики непрерывной случайной величины.
6. Дана корреляционная таблица.

У	Х
	325	375	425	475	525	nу
125	3	—	—	—	—	3
175	2	8	2	—	—	12
225	—	7	5	13	—	25
275	—	1	10	10	7	28
325	—	—	—	7	5	12
nх	5	16	17	30	12	n = 80

Найти: а) выборочный коэффициент корреляции; б) выборочные уравнения прямых регрессии.

Вариант № 11

1. После бури на участке между 40-м и 70-м километрами телефонной линии произошел обрыв провода. Какова вероятность того, что разрыв произошел между 50-м и 55-м километрами линии?
2. В ящике 10 деталей, из которых 4 окрашены. Сборщик на удачу взял 3 детали. Найти вероятность того, что хотя бы одна из взятых деталей окрашена.
3. В пирамиде 10 винтовок, из которых 4 снабжены оптическим прицелом. Вероятность того, что стрелок поразит мишень при выстреле из винтовки с оптическим прицелом, равна 0,95 , для винтовки без оптического прицела эта вероятность равна 0,8. Стрелок поразил мишень из взятой винтовки на удачу. Что вероятнее: стрелок стрелял из винтовки с оптическим прицелом или без него?
4. Вычислить числовые характеристики (математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение) и построить многоугольник распределения для дискретной величины, заданной законом распределения

Хi	10	20	30	40	50
Pi	0,1	0,14	0,26	0,2	0,3

5. По заданному виду плотности вероятности f(x) случайной величины Х, принимающей значения в заданном интервале. Найти уравнение плотности f(x) и функции распределения F(x). Построить графики этих функций, вычислить числовые характеристики непрерывной случайной величины.
6. Дана корреляционная таблица.

У	Х
	100	200	300	400	500	nу
7,75	—	—	1	2	1	4
8,25	—	3	-10	1	—	14
8,75	3	40	2	—	—	45
9,25	5	20	1	—	—	26
9,75	10	1	—	—	—	11
nх	18	64	14	3	1	n = 100

Найти: а) выборочный коэффициент корреляции; б) выборочные уравнения прямых регрессии.

Вариант №12

1. Из полной колоды карт (52 карты) наугад извлекаются три карты. Найти вероятность того, что это будет тройка, семерка, туз.
2. Вероятность одного попадания в цель при одном залпе из двух орудий равна 0,38. Найти вероятность поражения цели при одном выстреле первым из орудий, если известно, что для второго орудия эта вероятность равна 0,8.
3. В специализированную больницу поступает в среднем 50% больных с заболеванием К, 30% — с заболеванием L, 20% — с заболеванием M. Вероятность полного излечения болезни К равна 0,7; для болезней L и M эти вероятности соответственно равны 0,8 и 0,9. Больной, поступивший в больницу, был выписан здоровым. Найти вероятность того, что этот больной страдал заболеванием К.
4. Вычислить числовые характеристики (математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение) и построить многоугольник распределения для дискретной величины, заданной законом распределения

Хi	2	4	6	8	10
Pi	0,15	0,24	0,36	0,15	0,1

5. По заданному виду плотности вероятности f(x) случайной величины Х, принимающей значения в заданном интервале. Найти уравнение плотности f(x) и функции распределения F(x). Построить графики этих функций, вычислить числовые характеристики непрерывной случайной величины.
6. Дана корреляционная таблица.

У	Х
	15	25	35	45	55	nу
25	7	20	—	—	—	27
35	5	23	30	10	—	68
45	—	—	47	11	9	67
55	—	—	2	20	7	29
65	—	—	—	6	3	9
nх	12	43	79	47	19	n = 200

Найти: а) выборочный коэффициент корреляции; б) выборочные уравнения прямых регрессии.

Вариант № 13

1. Из десяти билетов выигрышными являются два. Определить вероятность того. Что среди взятых наудачу пяти билетов оба выигрышные.
2. Устройство содержит два независимо работающих элемента. Вероятность отказа элементов соответственно равны 0,05 и 0,08. Найти вероятность отказа устройства, если для этого достаточно, чтобы отказал хотя бы один элемент.
3. Три стрелка произвели залп, причем две пули поразили мишень. Найти вероятность того, что третий стрелок поразил мишень, если вероятность попадания в мишень первым, вторым и третьим стрелками соответственно равны 0,2, 0,4 и 0,3.
4. Вычислить числовые характеристики (математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение) и построить многоугольник распределения для дискретной величины, заданной законом распределения

Хi	10	20	30	40	50
Pi	0,1	0,14	0,26	0,2	0,3

5. По заданному виду плотности вероятности f(x) случайной величины Х, принимающей значения в заданном интервале. Найти уравнение плотности f(x) и функции распределения F(x). Построить графики этих функций, вычислить числовые характеристики непрерывной случайной величины.
6. Дана корреляционная таблица.

У	Х
	500	1500	2500	3500	4500	nу
1,75	—	—	—	1	6	7
2,25	—	—	4	6	3	13
2,75	—	3	6	4	—	13
3,25	2	6	3	1	—	12
3,75	3	2	—	—	—	5
nх	5	11	13	12	9	n = 50

Найти: а) выборочный коэффициент корреляции; б) выборочные уравнения прямых регрессии.

Вариант №14

1. Десять книг на одной полке расставляются наудачу. Определить вероятность того, что при этом три определенные книги окажутся поставленными рядом.
2. Вероятность выигрыша по одному билету лотереи равна 0,1. Какова вероятность того, что лицо, имеющее 6 билетов выиграет по двум билетам?
3. Имеются три партии деталей по 20 деталей в каждой. Число стандартных деталей в первой, второй и третьей партиях соответственно равны 20, 15, 10. Из наудачу выбранной партии наудачу извлечена деталь, оказавшаяся стандартной. Деталь возвращают в партию и вторично из той же партии наудачу извлекают деталь, которая также оказывается стандартной. Найти вероятность того, что детали были извлечены из третьей партии.
4. Вычислить числовые характеристики (математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение) и построить многоугольник распределения для дискретной величины, заданной законом распределения

Хi	-5	2	3	4	5
Pi	0,17	0,23	0,1	0,15	0,35

5. По заданному виду плотности вероятности f(x) случайной величины Х, принимающей значения в заданном интервале. Найти уравнение плотности f(x) и функции распределения F(x). Построить графики этих функций, вычислить числовые характеристики непрерывной случайной величины.
6. Дана корреляционная таблица.

У	Х
	45	55	65	75	85	nу
12,5	5	10	—	—	—	15
17,5	7	7	27	—	—	41
22,5	—	26	40	24	—	90
27,5	—	—	20	10	4	34
32,5	—	—	—	8	12	20
nх	12	43	87	42	16	n = 200

Найти: а) выборочный коэффициент корреляции; б) выборочные уравнения прямых регрессии.

Вариант № 15

1. Среди электрических лампочек три нестандартные. Найти вероятность того, что две взятые одновременно электрические лампочки окажутся нестандартными.
2. Вероятность того, что взятый наугад для испытаний образец шерстяной ткани выдержит установленную нагрузку, равна 0,8. Случайным образом отбираются четыре образца. Какова вероятность того, что хотя бы один из них выдержит указанную нагрузку?
3. Два равносильных шахматиста играют в шахматы. Что вероятнее: выиграть две партии из четырех или три из шести (ничья во внимание не принимается)?
4. Вычислить числовые характеристики (математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение) и построить многоугольник распределения дискретной случайной величины, заданной законом распределения

Хi	0	1	2	3	4
Pi	0,115	0,22	0,315	0,272	0,078

5. По заданному виду плотности вероятности f(x) случайной величины Х, принимающей значения в заданном интервале. Найти уравнение плотности f(x) и функции распределения F(x). Построить графики этих функций, вычислить числовые характеристики непрерывной случайной величины.
6. Дана корреляционная таблица.

У	Х
	0,5	1,5	2,5	3,5	4,5	5,5	6,5	nу
2,5	7	4	2	—	—	—	—	13
7,5	—	6	8	6	2	—	—	22
12,5	—	5	8	20	14	10	2	59
17,5	—	—	2	5	3	4	6	20
22,5	—	—	—	—	—	2	4	6
nх	7	15	20	31	19	16	12	n = 120

Найти: а) выборочный коэффициент корреляции; б) выборочные уравнения прямых регрессии.

Вариант № 16

1. В урне имеется 3 белых и 7 черных шаров. Какова вероятность того, что вынутые наугад 2 шара окажутся белыми.
2. Имеется 5 билетов стоимостью 1 грн., три билета по 3 грн. и два билета по пять грн. Наугад берутся три билета. Определить вероятность того, что хотя бы два из этих билетов имеют одинаковую стоимость.
3. Найти вероятность того, что событие А появится не менее трех раз в четырех независимых испытаниях, если вероятность появления события А в одном испытании равна 0,4.
4. Вычислить числовые характеристики (математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение) и построить многоугольник распределения дискретной случайной величины заданной законом распределения

Хi	10	30	50	60	70
Pi	0,1	0,2	0,3	0,25	0,15

5. По заданному виду плотности вероятности f(x) случайной величины Х, принимающей значения в заданном интервале. Найти уравнение плотности f(x) и функции распределения F(x). Построить графики этих функций, вычислить числовые характеристики непрерывной случайной величины.
6. Дана корреляционная таблица.

У	Х
	30	40	50	60	70	80	90	nу
0	—	—	—	—	—	4	6	10
6	—	—	—	6	6	8	—	20
12	—	1	2	14	3	—	—	20
18	1	5	18	2	—	—	—	26
24	—	4	10	2	—	—	—	16
30	1	5	2	—	—	—	—	8
nх	2	15	32	24	9	12	6	n = 100

Найти: а) выборочный коэффициент корреляции; б) выборочные уравнения прямых регрессии.

Вариант № 17

1. Из пяти букв разрезной азбуки составлено слово «книга». Ребёнок не умеющий читать, рассыпал эти буквы и затем собрал в произвольном порядке. Найти вероятность того, что у него снова получится слово «книга».
2. Из партии изделий товаровед отбирает изделия высшего сорта. Вероятность того, что наудачу взятое изделие окажется высшего сорта, равна 0,8. Найти вероятность того, что из трёх проверенных изделий только два изделия высшего сорта.
3. Вероятность попадания по движущейся мишени принимается равной 0,7. Какова вероятность того, что из 20 выстрелов 15 окажутся удачными.
4. Вычислить числовые характеристики (математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение) и построить многоугольник распределения для дискретной случайной величины, заданной законом распределения.

Хi	0	1	2	3	4
Pi	0,15	0,2	0,31	0,29	0,05

5. По заданному виду плотности вероятности f(x) случайной величины Х, принимающей значения в заданном интервале. Найти уравнение плотности f(x) и функции распределения F(x). Построить графики этих функций, вычислить числовые характеристики непрерывной случайной величины.
6. Дана корреляционная таблица.

У	Х
	45	55	65	75	85	nу
1,125	—	—	—	2	6	8
1,375	—	—	4	7	4	15
1,625	1	1	7	5	—	14
1,875	2	4	1	—	—	7
2,125	3	3	—	—	—	6
nх	6	8	12	14	10	n = 50

Найти: а) выборочный коэффициент корреляции; б) выборочные уравнения прямых регрессии.

Вариант № 18

1. В коробке содержится 6 одинаковых пронумерованных кубиков. Найти вероятность того, что номера извлеченных кубиков появятся в возрастающем порядке.
2. Предприятие выпускает 96% изделий качественных, из каждых 100 которых 75 являются изделиями первого сорта. Найти вероятность того, что наудачу взятое изделие окажется первого сорта.
3. Два равносильных шахматиста играют в шахматы. Что вероятнее: выиграть не менее двух  партий из четырёх или не менее трёх партий из пяти (ничья во внимание не принимаются)?
4. Вычислить числовые характеристики (математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение) и построить многоугольник распределения дискретной случайной величины, заданной законом распределения

Хi	10	20	30	40	50
Pi	0,24	0,36	0,2	0,17	0,03

5. По заданному виду плотности вероятности f(x) случайной величины Х, принимающей значения в заданном интервале. Найти уравнение плотности f(x) и функции распределения F(x). Построить графики этих функций, вычислить числовые характеристики непрерывной случайной величины.
6. Дана корреляционная таблица.

У	Х
	32,5	37,5	42,5	47,5	52,5	nу
5	2	—	—	—	—	2
7	17	10	3	—	—	30
9	9	-17	24	6	2	58
11	3	9	16	24	11	63
13	—	—	13	12	22	47
nх	31	36	56	42	35	n = 200

Найти: а) выборочный коэффициент корреляции; б) выборочные уравнения прямых регрессии.

Вариант № 19

1. На стеллаже библиотеке в случайном порядке расставлены 15 учебников, причем 5 из них в переплете. Библиотекарь берет на удачу 3 учебника. Найти вероятность того, что хотя бы один из взятых учебников окажется в переплете.
2. Вероятность попадания в цель первого стрелка равна 0,1, а вероятность второго стрелка равна 0,9. Определить вероятность того, что при выстреле обоих стрелков в мишени окажется одна пуля.
3. Найти вероятность того, что событие А появится в пяти независимых испытаниях не менее двух раз, если в каждом испытании вероятность появления события А равна 0,3.
4. Вычислить числовые характеристики (математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение) и построить многоугольник распределения для дискретной случайной величины, заданной законом распределения.

Хi	2	5	8	12	15
Pi	0,12	0,18	0,25	0,4	0,05

5. По заданному виду плотности вероятности f(x) случайной величины Х, принимающей значения в заданном интервале. Найти уравнение плотности f(x) и функции распределения F(x). Построить графики этих функций, вычислить числовые характеристики непрерывной случайной величины.
6. Дана корреляционная таблица.

У	Х
	1	3	5	7	9	nу
0,5	3	2	2	—	—	7
1,5	1	4	3	—	—	8
2,5	—	6	10	4	—	20
3,5	—	—	3	6	1	10
4,5	—	—	—	3	2	5
nх	4	12	18	13	3	n = 50

Найти: а) выборочный коэффициент корреляции; б) выборочные уравнения прямых регрессии.

Вариант №20

1. В ящике 10 одинаковых деталей, помеченных номерами 1, 2, … 10. Наудачу извлечены шесть деталей. Найти вероятность того, что среди извлеченных деталей окажутся детали № 1 и № 2.
2. Для разрушения моста достаточно попадания одной авиационной бомбы. Найти вероятность того, что мост будет разрушен, если на него сбросить четыре бомбы, вероятности, попадания которых соответственно равны: 0,3; 0,4; 0,6; 0,7;
3. В телевизионном ателье имеется 4 кинескопа. Вероятности того, что кинескоп выдержит гарантийный срок службы, соответственно равны 0,8; 0,85; 0,9; 0,95. Найти  вероятность того, что взятый наудачу кинескоп выдержит гарантийный срок службы.
4. Вычислить числовые характеристики (математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение) и построить многоугольник распределения дискретной случайной величины, заданной законом распределения.

Хi	1	5	7	9	15
Pi	0,16	0,22	0,34	0,18	0,1

5. По заданному виду плотности вероятности f(x) случайной величины Х, принимающей значения в заданном интервале. Найти уравнение плотности f(x) и функции распределения F(x). Построить графики этих функций, вычислить числовые характеристики непрерывной случайной величины.
6. Дана корреляционная таблица.

У	Х
	0	8	16	24	32	nу
80	2	2	1	—	—	5
90	1	3	6	—	—	10
100	—	3	5	8	1	17
110	—	—	2	7	3	12
120	—	—	—	2	4	6
nх	3	8	14	17	8	n = 50

Найти: а) выборочный коэффициент корреляции; б) выборочные уравнения прямых регрессии.

Вариант № 21

1. Имеется лабиринт с шестью разветвлениями пути. Из каждого разветвления идут два пути, причём один из них ведёт в тупик. Вычислить вероятность пройти по этому лабиринту, не заходя ни в один из тупиков.
2. Для сигнализации об аварии установлены 2 независимо работающих устройства. Вероятность того, что при аварии сработает первое устройство, равна 0,9, второе – 0,95. Найти вероятность того, что при аварии сработает хотя бы одно устройство.
3. Рабочий обслуживает три станка, работающих независимо друг от друга. вероятность того, что в течение часа первый станок потребует внимания рабочего, равна 0,1, для второго такая вероятность равна 0,2, для третьего – 0,3. Какова вероятность того, что в течение часа хотя бы один станок потребует внимания рабочего.
4. Вычислить числовые характеристики (математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение) и построить многоугольник распределения для дискретной величины, заданной законом распределения

Хi	3	5	8	12	15
Pi	0,2	0,14	0,26	0,2	0,2

5. По заданному виду плотности вероятности f(x) случайной величины Х, принимающей значения в заданном интервале. Найти уравнение плотности f(x) и функции распределения F(x). Построить графики этих функций, вычислить числовые характеристики непрерывной случайной величины.
6. Дана корреляционная таблица.

У	Х
	122,5	127,5	132,5	137,5	142,5	147,5	152,5	nу
22,5	1	—	—	—	—	—	—	1
25,5	3	2	1	1	—	—	—	7
28,5	—	6	5	6	1	—	—	18
31,5	—	1	5	7	4	1	—	18
34,5	—	—	—	2	2	1	1	6
nх	4	9	11	16	7	2	1	n = 50

Найти: а) выборочный коэффициент корреляции; б) выборочные уравнения прямых регрессии.

Вариант №22

1. Брошена монета и игральная кость. Найти вероятность совмещения событий: «появился герб» и «появилось 4 очка».
2. Три стрелка стреляют в одну мишень. При этом известно, что вероятность попадания с одного выстрела для первого стрелка равна 0,8, для второго – 0,7, для третьего – 0,6. Найти вероятность появления в мишени одной пробоины в результате одновременного выстрела всех трёх стрелков.
3. На двух автоматических станках изготовляются одинаковые детали. Известно, что вероятность изготовления детали высшего качества на первом станке равна 0,92, а на втором – 0,8. Изготовленные на обоих станках не рассортированные детали находятся на складе. Среди них деталей, изготовленных на первом станке, в три раза больше, чем на втором. Найти вероятность того, что наудачу взятая деталь будет высшего качества.
4. Вычислить числовые характеристики (математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение) и построить многоугольник распределения для дискретной величины, заданной законом распределения

Хi	-3	-2	1	5	8
Pi	0,15	0,25	0,35	0,1	0,15

5. По заданному виду плотности вероятности f(x) случайной величины Х, принимающей значения в заданном интервале. Найти уравнение плотности f(x) и функции распределения F(x). Построить графики этих функций, вычислить числовые характеристики непрерывной случайной величины.
6. Дана корреляционная таблица.

У	Х
	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	nу
130	3	4	3	—	—	—	—	10
150	3	5	6	2	—	—	—	16
170	—	3	8	10	4	—	—	25
190	—	—	2	8	10	6	—	26
210	—	—	—	6	5	2	1	14
230	—	—	—	—	1	2	6	9
nх	6	12	19	26	20	10	7	n = 100

Найти: а) выборочный коэффициент корреляции; б) выборочные уравнения прямых регрессии.

Вариант № 23

1. В первой коробке 20 деталей, из них 18 стандартных, во второй коробке 10 деталей, из них 7 стандартных. Из второй коробки наудачу взята деталь и переложена в первую. Найти вероятность того, что деталь, наудачу извлеченная из первой коробки, стандартна.
2. Пусть в условиях предыдущей задачи деталь, извлеченная из первой коробки, оказалась стандартной. Найти вероятность того, что из второй коробки переложена в первую стандартная деталь.
3. Детали, изготовленные цехом завода, попадают для проверки их на стандартность к одному из двух контролеров. Вероятность того, что деталь попадет к первому контролеру, равна 0,6, а ко второму – 0,4, вероятность того, что годная деталь будет признана стандартной первым контролером, равна 0,94, а вторым – 0,98. Найти вероятность того, что годная деталь будет признана стандартной.
4. Вычислить числовые характеристики (математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение) и построить многоугольник распределения для дискретной величины, заданной законом распределения

Хi	-4	-2	2	8	15
Pi	0,15	0,34	0,16	0,2	0,15

5. По заданному виду плотности вероятности f(x) случайной величины Х, принимающей значения в заданном интервале. Найти уравнение плотности f(x) и функции распределения F(x). Построить графики этих функций, вычислить числовые характеристики непрерывной случайной величины.
6. Дана корреляционная таблица.

У	Х
	0,2	0,4	0,6	0,8	1,0	1,2	nу
10	4	2	—	—	—	—	6
15	—	2	—	6	—	—	8
20	—	—	2	—	—	—	2
25	—	—	—	4	—	—	4
30	—	—	—	4	6	—	10
35	—	—	—	—	6	4	10
nх	4	4	2	14	12	4	n = 40

Найти: а) выборочный коэффициент корреляции; б) выборочные уравнения прямых регрессии.

Вариант № 24

1. Приборы одного наименования изготовляются двумя заводами, первый завод поставляет 60 % всех изделий, второй – 40%. Вероятность безотказной работы за время Т прибора, изготовленного первым заводом, равна 0,9, вторым – 0,8. Определить вероятность безотказной работы взятого наудачу прибора, поступившего на производство.
2. Пусть в условиях предыдущей задачи взятый наудачу прибор проработал безотказно время Т. Каково вероятность того, что этот прибор изготовлен первым заводом?
3. Пассажир может обратиться за получением билета в одну из двух касс. Вероятность обращения в каждую кассу зависит от их местоположения и равна соответственно 0,7 и 0,3. Вероятность того, что к моменту прихода пассажира билеты будут проданы, равна для первой кассы 0,8, для второй –0,4. Найти вероятность того, что, выбрав наудачу кассу, пассажир приобретет билет.
4. Вычислить числовые характеристики (математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение) и построить многоугольник распределения для дискретной величины, заданной законом распределения

Хi	-6	-3	0	4	12
Pi	0,2	0,3	0,1	0,15	0,25

5. По заданному виду плотности вероятности f(x) случайной величины Х, принимающей значения в заданном интервале. Найти уравнение плотности f(x) и функции распределения F(x). Построить графики этих функций, вычислить числовые характеристики непрерывной случайной величины.
6. Дана корреляционная таблица.

У	Х
	550	650	750	850	950	nу
90	2	1	—	—	—	3
100	3	4	3	—	—	10
110	—	3	5	5	—	13
120	—	—	4	4	4	12
130	—	—	—	2	—	2
nх	5	8	12	11	4	n = 40

Найти: а) выборочный коэффициент корреляции; б) выборочные уравнения прямых регрессии.

Вариант № 25

1. Производится стрельба по цели. Цель состоит из трех частей, площади которых равны S₁, S₂, S₃, (S₁+S₂+S₃ = S). Для попавшего в цель снаряда вероятность попасть в ту или другую часть пропорциональна площади части. При попадании в первую часть цель поражается с вероятностью р₁, во вторую часть р₂, в третью – р₃. Найти вероятность поражения цели, если известно, что в нее попал один снаряд.
2. На первом заводе на каждые 100 лампочек производится в среднем 90 стандартных, на втором 95, на третьем – 85, а продукция их составляет соответственно 50, 30, 20 процентов всех электрических лампочек, поставляемых в магазины данного района. Найти вероятность приобретения стандартной электрической лампочки.
3. Пусть в условиях предыдущей задачи электрическая лампочка, приобретена в магазине данного района, оказалась стандартной. Найти вероятность того, что лампочка произведена на первом заводе.
4. Вычислить числовые характеристики (математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение) и построить многоугольник распределения для дискретной величины, заданной законом распределения

Хi	-3	-1	4	7	20
Pi	0,1	0,14	0,26	0,2	0,3

5. По заданному виду плотности вероятности f(x) случайной величины Х, принимающей значения в заданном интервале. Найти уравнение плотности f(x) и функции распределения F(x). Построить графики этих функций, вычислить числовые характеристики непрерывной случайной величины.
6. Дана корреляционная таблица.

У	Х
	0,1	0,25	0,40	0,55	0,70	nу
40	7	5	3	—	—	15
50	3	12	4	1	—	20
60	—	10	15	3	—	28
70	—	1	6	12	5	24
80	—	—	2	4	7	13
nх	10	28	30	20	12	n = 50

Найти: а) выборочный коэффициент корреляции; б) выборочные уравнения прямых регрессии.

 

 

3.2.   Задания для промежуточной аттестации

 

1. Что является предметом теории вероятностей?
2. В чем заключается статистическое определение вероятности?
3. При каких условиях можно применять классическое определение вероятности?
4. Какова формулировка классического определения вероятности?
5. Приведите несколько примеров достоверных, невозможных и случайных событий.
6. Чему равна вероятность невозможного и достоверного событий?
7. Дайте определение суммы и произведения событий. Примеры.
8. Какие события называют противоположными? Примеры.
9. Что такое перестановки? Число всех возможных перестановок?
10. Что такое размещение? Число всех возможных размещений?
11. Что такое сочетания? Число всех возможных сочетаний?
12. В чем заключается «правило суммы»?
13. В чем заключается «правило произведения»?
14. Что такое множество элементарных событий?
15. Какова вероятность суммы двух совместных событий?
16. Какие события образуют полную группу?
17. Что такое условная вероятность?
18. Как выражается условная вероятность через безусловную?
19. Как связаны условные вероятности двух независимых событий?
20. Какова формула произведения событий?
21. Чему равна вероятность появления хотя бы одного события из независимых в совокупности событий?
22. Каковы условия задачи, определяемой формулой полной вероятности?
23. Каковы условия задачи, определяемой формулой Бейеса?
24. Сформулируйте локальную предельную теорему Муавра-Лапласа

25.Сформулируйте интегральную предельную теорему Муавра-Лапласа

26. Что называется случайной величиной? Примеры
27. Какую случайную величину называют дискретной? Пример
28. Какую случайную величину называют непрерывной? Пример
29. Что называют законом распределения дискретной случайной величины?
30. Что называют числовыми характеристиками случайной величины?
31. Что является числовой характеристикой рассеяния случайной величины?
32. Как найти среднеквадратическое отклонение дискретной случайной величины?
33. Определение функции распределения. Свойства функции распределения. График  функции распределения.
34. Что называют плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины?
35. Как найти вероятность попадания непрерывной случайной величины в заданный интервал?
36. Что называют математическим ожиданием непрерывной случайной величины?
37. Что называют дисперсией непрерывной случайной величины?
38. Как найти среднеквадратическое отклонение непрерывной случайной величины?
39. Что называют нормальным распределением?
40. Чему равно математическое ожидание нормального распределения?
41. Чему равна дисперсия нормального распределения?
42. Чему равно среднеквадратическое отклонение нормального распределения?
43. Как вычислить попадание в заданный интервал нормальной случайной величины?
44. Как вычислить вероятность заданного отклонения?
45. Что называется выборочной совокупностью? Что называют генеральной совокупностью? Что такое объем совокупности?
46. Что называют статистическим распределение выборки?
47. Что является эмпирической функцией распределения?
48. Свойства эмпирической функции распределения
49. Что называю полигоном частот? Что называю полигоном относительных частот?
50. Что называю гистограммой частот? Что называю гистограммой относительных частот?
51. Как находят доверительный интервал для оценки математического ожидания при известном σ?
52. Как находят доверительный интервал для оценки математического ожидания при неизвестном σ?
53. Как находят доверительный интервал для оценки среднего квадратического отклонения σ нормального распределения?
54. Как выражаются обычные моменты через условные?
55. Как выражаются центральные моменты через условные?
56. Какие существуют виды зависимостей?
57. Что называют условным средним?
58. Какое уравнение называют выборочным уравнением регрессии?
59. Какую функцию называют выборочной регрессией?
60. Что является выборочной линией регрессии?
61. Что называют выборочным коэффициентом регрессии?
62. В чем заключается метод наименьших квадратов?
63. Какую зависимость называют статистической? Какую зависимость называют корреляционной?
64. Что называют условным средним?
65. В качестве каких оценок принимают условные средние?
66. Какое уравнение называют выборочным уравнением регрессии?
67. Какую функцию называют выборочной регрессией?
68. Что называют выборочной линией регрессии?
69. Что называют выборочным коэффициентом регрессии?
70. Как находятся параметры выборочного уравнения прямой линии регрессии по сгруппированным данным?

 

4.Условия проведения промежуточной аттестации

 

Количество вариантов заданий для аттестующихся – 25.

Время выполнения задания – 80 мин.

Оборудование:

посадочные места по количеству обучающихся;

комплект учебно-методической документации;

компьютер, программное обеспечение общего и профессионального назначения;

мультимедиа-проектор.

 

5. Критерии оценивания для промежуточной аттестации

 

 

Уровень учебных достижений	Показатели оценки результата
«5»	за глубокое и полное овладение содержанием учебного материала, в котором обучающиеся легко ориентируются, за умение связывать теорию с практикой, высказывать и обосновывать свои суждения. Отличная отметка предполагает грамотное, логическое изложение ответа.
«4»	если обучающийся полно освоил материал, владеет понятийным аппаратом, ориентируется в изученном материале, грамотно излагает ответ, но содержание, форма ответа имеют отдельные недостатки.
«3»	если обучающийся обнаруживает знание и понимание основных положений учебного материала, но излагает его неполно, непоследовательно, допускает неточности в определении понятий, не умеет доказательно обосновывать свои суждения.
«2»	если обучающийся имеет  разрозненные, бессистемные знания, не умеет выделять главное и второстепенное, допускает ошибки в определении понятий, искажающие их смысл, беспорядочно и неуверенно излагает материал.

 

 

Курс 3.30. » Теория и методика преподавания учебного предмета в условиях реализации ФГОС ООО, в соответствии с ФООП»

Пройти квалификационную сертификацию и получить документ бесплатно и сразу после прохождения итогового теста